Газовые законы

Математические формулы

Состояние газовых масс характеризуется температурой, объёмом и давлением. С помощью уравнения формируется взаимосвязь между показателями. Формула используется в задачах по физике с целью изучения внутреннего теплового процесса. Главные параметры уравнения молекулярно-кинетической теории газовых веществ:

• р — давление, измеряется в паскалях, обозначается Па;
• m — масса (кг);
• n — концентрация молекул на определённом участке.

На уроках физике и на практике применяется несколько выражений для анализа состояния газа. При условии теплового равновесия используется уравнение Клайперона — Менделеева. Его составными показателями являются:

• р — давление;
• V — объём;
• Т — температура;
• m — масса;
• М — молярная масса, которая измеряется в кг/моль;
• R — считается универсальной постоянной, где k — постоянная Больцмана, а Na — постоянная Авогадро.

Дополнительные выражения, которые используются для расчёта энергии, степени энтропии (неупорядоченность) и упорядоченности, концентрации и других показателей в молекулярно-кинетической теории (МКТ):

• Сокращенная формула состояния газа в идеальном виде. Для записи применяется постоянная Больцмана (k), концентрация молекул (n), температура газа (t).
• Формула плотности веществ. Её можно получить из главного уравнения.
• Закон Дальтона: давление газов из смеси равно сумме парциальных давлений всех газовых компонентов.
• Парциальное P. Используется для расписания состояния всех компонентов смеси и определения давления одного вещества, если бы оно занимало сосуд на 100%.

Закон вязкого трения Ньютона

Ньютон предположил, что величина этой силы (называемой силой внутреннего трения) пропорциональна разности скоростей элементов жидкости. Следовательно, сила внутреннего трения F пропорциональна изменению скорости жидкости v в направлении, перпендикулярном движению, и зависит от площади S соприкосновения элементов жидкости:

η − коэффициент динамической вязкости.

Жидкости, в которых внутреннее трение подобным образом зависит от изменения скорости, называются ньютоновскими, или жидкостями с линейной вязкостью.

Величину коэффициента динамической вязкости (и справедливость данного закона) Ньютон определил с помощью несложного опыта: он передвигал по поверхности жидкости пластинку с той или иной скоростью. Для того чтобы поддерживать эту скорость постоянной, требовалась сила, которая при небольшой глубине жидкости оказалась прямо пропорциональна площади S и скорости пластинки v и обратно пропорциональна глубине жидкости h:

И хотя при увеличении глубины жидкости h сила вязкого трения пластинки не становится исчезающе малой, эта формула довольно точно описывает взаимодействие между соприкасающимися элементами жидкости.

Чем больше разность скоростей, тем больше сила, с которой они воздействуют друг на друга, заставляя притормаживать слишком быстро движущиеся элементы и разгоняя слишком медленные.

В результате относительное движение в жидкости прекращается (но иногда это может произойти не очень скоро).

Примеры газообразных элементов и соединений

Какие газообразные элементы периодической таблицы в земных условиях?

Сначала у нас есть водород (H), который образует молекулы H₂. Далее следует гелий (He), легчайший благородный газ; а затем азот (N), кислород (O) и фтор (F). Последние три также образуют двухатомные молекулы: N₂, ИЛИ₂ и F₂.

После фтора идет неон (Ne), благородный газ, который следует за гелием. Ниже фтора находится хлор (Cl) в виде молекул Cl.₂.

Далее идут остальные благородные газы: аргон (Ar), криптон (Kr), ксенон (Xe), радон (Rn) и оганесон (Og).

Следовательно, всего их двенадцать газообразных элементов; одиннадцать, если исключить высокорадиоактивный и нестабильный оганесон.

Как можно на опыте показать, что газ производит давление на стенки сосуда, в котором он находится?

Вы узнали, что причина возникновения давления газа на стенки сосуда — это удары его молекул о стенки сосуда. Давайте подтвердим эту информацию, рассмотрев опыт.

У нас есть воздушный насос, который представляет собой специальную камеру, из которой можно откачать воздух. Возьмем завязанный воздушный шарик и помести его под купол насоса. В шарика у нас совсем небольшое количество воздуха (рисунок 3, а).

Рисунок 3. Опыт, показывающий, что давление газа по всем направлениям одинаково

Теперь начнем откачивать воздух из-под колокола. Что будет происходить? Воздух внутри колокола становится более разреженным, а воздушный шарик постепенно раздувается. В итоге он примет форму шара (рисунок 3, б).

Теперь, используя полученные знания о давлении газа, давайте объясним, что произошло. В самом начале нашего опыта молекулы воздуха есть и внутри шарика, и снаружи. Когда мы начинаем откачивать воздух, количество молекул воздуха под куполом уменьшается. Значит, уменьшается и количество их ударов об оболочку шарика. При этом количество молекул воздуха и их ударов внутри шарика не изменяется.

Шарик раздувается. Это происходит до тех пор, пока сила упругости его резиновой оболочки не станет равна силе давления газа.

Из чего можно заключить, что газ производит одинаковое давление по всем направлениям?Резиновая оболочка шарика приняла форму именно шара! То есть число ударов молекул, которые приходятся на каждый $см^2$ площади поверхности, по всем направлениям одинаково. Этот факт является следствием хаотичного движения гигантского числа молекул.

{"questions":,"answer":}}}]}

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Газовые законы были открыты экспериментально, но все они могут быть получены из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Рассмотрим каждый из них.

Закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс)

Изотермическим процессомназывают изменение состояния газа, при котором его температура остаётся постоянной.

Для неизменной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на объем есть величина постоянная:

Этот же закон можно переписать в другом виде (для двух состояний идеального газа):

Этот закон следует из уравнения Менделеева – Клапейрона:

Очевидно, что при неизменной массе газа и при постоянной температуре правая часть уравнения остается постоянной величиной.

Графики зависимости параметров газа при постоянной температуре называются изотермами.

Обозначив константу буквой , запишем функциональную зависимость давления от объема при изотермическом процессе:

Видно, что давление газа обратно пропорционально его объему. Графиком обратной пропорциональности, а, следовательно, и графиком изотермы в координатах является гипербола (рис.1, а). На рис.1 б) и в) представлены изотермы в координатах и соответственно.

Рис.1. Графики изотермических процессов в различных координатах

Закон Гей-Люссака (изобарный процесс)

Изобарным процессомназывают изменение состояния газа, при котором его давление остаётся постоянным.

Для неизменной массы газа при постоянном давлении отношение объема газа к температуре есть величина постоянная:

Для двух состояний газа этот закон запишется в виде:

Этот закон также следует из уравнения Менделеева – Клапейрона:

Графики зависимости параметров газа при постоянном давлении называются изобарами.

Рассмотрим два изобарных процесса с давлениями и . В координатах и изобары будут иметь вид прямых линий, перпендикулярных оси (рис.2 а,б).

Определим вид графика в координатах .Обозначив константу буквой , запишем функциональную зависимость объема от температуры при изобарном процессе:

Видно, что при постоянном давлении объем газа прямо пропорционален его температуре. Графиком прямой пропорциональности, а, следовательно, и графиком изобары в координатах является прямая, проходящая через начало координат (рис.2, в). В реальности при достаточно низких температурах все газы превращаются в жидкости, к которым газовые законы уже неприменимы. Поэтому вблизи начала координат изобары на рис.2, в) показаны пунктиром.

Рис.2. Графики изобарных процессов в различных координатах

Закон Шарля (изохорный процесс)

Изохорным процессомназывают изменение состояния газа, при котором его объем остаётся постоянным.

Для неизменной массы газа при постоянном объеме отношение давления газа к его температуре есть величина постоянная:

Для двух состояний газа этот закон запишется в виде:

Этот закон также можно получить из уравнения Менделеева – Клапейрона:

Графики зависимости параметров газа при постоянном давлении называются изохорами.

Рассмотрим два изохорных процесса с объемами и . В координатах и графиками изохор будут прямые, перпендикулярные оси (рис.3 а, б).

Для определения вида графика изохорного процесса в координатах обозначим константу в законе Шарля буквой , получим:

Таким образом, функциональная зависимость давления от температуры при постоянном объеме является прямой пропорциональностью, графиком такой зависимости является прямая, проходящая через начало координат (рис.3, в).

Рис.3. Графики изохорных процессов в различных координатах

Первый закон термодинамики: решение задач

Алгоритм решения задач на первый закон термодинамики ничем не отличается от алгоритма решения любой другой физической задачи. С ним вы можете ознакомиться, открыв нашу универсальную памятку. Также полезно будет держать под рукой формулы, которые часто используются при решении задач.

Задача №1. Применение первого закона термодинамики

Условие

Газ находился в цилиндре с поршнем площадью поперечного сечения 200 см^2. После того, как газ нагрели, сообщив ему количество теплоты в 1,5*10^5 Дж, поршень сдвинулся на расстояние h=30 см. Как изменилась внутренняя энергия газа, если его давление осталось равным 2*10^7 Па.

Решение

Запишем первое начало термодинамики:

Работу против внешних сил, которую совершил газ, можно найти по формуле из механики:

Отсюда:

Ответ: 30 кДж.

Задача №2. Применение первого закона термодинамики

Условие

Над газом была совершена работа 55 Дж, а его внутренняя энергия увеличилась на 15 Джоулей. Какое количество теплоты получил или отдал газ в этом процессе?

Решение

Записываем первое начало термодинамики и подставляем значения:

A пишется со знаком «минус», так как это работа внешних сил над газом, а не наоборот.

Ответ: в процессе газ отдал 40 Дж теплоты.

Задача №3. Расчет работы, изменения внутренней энергии и количества теплоты

Условие

Кислород нагрели при постоянном давлении p=80 кПа. Объем газа увеличился с 1 до 3 кубических метров. Определить изменение внутренней энергии кислорода, работу, совершенную газом, и количество теплоты, сообщенное ему.

Решение

Работа газа 

Изменение внутренней энергии равно:

Используем уравнение состояния газа:

Число степеней свободы i для двухатомной молекулы равно 5.

Согласно первому закону термодинамики, сообщенное газу тепло равно:

Найдем:

Ответ: А=160 кДж, ∆U=400 кДж, Q=560 кДж.

Задача №4. Изопроцессы

Условие

Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

Решение

Так как нагревание газа происходит при постоянном объеме, процесс – изохорный. При изохорном процессе:

Ответ: 600 К.

Задача №5. Расчет изменения энтропии

Условие

Найти изменение ∆S энтропии при расширении массы m = 6 г гелия от объема V1 = 20 л под давлением р1 = 150 кПа к объему V2 = 60 л под давлением р2 = 100 кПа.

Решение

Изменение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2:

Согласно первому началу термодинамики:

Из уравнения Менделеева-Клапейрона выразим давление:

Тогда:

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

Подставим числа:

Ответ: ∆S=53,31 Дж/К.

Кстати! Для наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.

Графики изопроцессов

Так как мы рассматриваем три макропараметра p, T и V, то возможно три системы координат: (p, V), (V, Τ), (p, Т).

Графики зависимости между параметрами данной массы при постоянной температуре называются изотермами.

Рассмотрим два изотермических процесса с температурами T₁ и T₂ (T₂ > T₁). В координатах, где есть ось температуры ((V, Τ) и (p, Т)), графиками будут прямые, перпендикулярные оси T, и проходящие через точки T₁ и T₂ (рис. 2, а, б).

Определим вид графика в осях (p, V). Для изотермического процесса \(~p \cdot V = \operatorname{const}\). Обозначим эту константу буквой z₁. Тогда

\(~p \cdot V = z_1\) или \(~p = \dfrac{z_1}{V}\).

График этой функции — гипербола (рис. 2, в).

Рис. 2

Графики зависимости между параметрами газа при постоянной массе газа и давлении называют изобарами.

Рассмотрим два изобарных процесса с давлениями p₁ и p₂ (p₂ > p₁). В координатах, где есть ось давления ((p, Τ) и (p, V)), графиками будут прямые, перпендикулярные оси p, и проходящие через точки p₁ и p₂ (рис. 3, а, б).

Определим вид графика в осях (V, T). Для изобарного процесса \(~\dfrac{V}{T} = \operatorname{const}\). Обозначим эту константу буквой z₂. Тогда

\(~\dfrac{V}{T} = z_2\) или \(~V = z_2 \cdot T\).

График этой функции — прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 3, в).

Рис. 3

Графики зависимости между параметрами газа при постоянной массе газа и постоянном объеме называют изохорами.

Рассмотрим два изохорных процесса с объемами V₁ и V₂ (V₂ > V₁). В координатах, где есть ось объема ((V, Τ) и (p, V)), графиками будут прямые, перпендикулярные оси V, и проходящие через точки V₁ и V₂ (рис. 4, а, б).

Определим вид графика в осях (p, T). Для изохорного процесса \(~\dfrac{p}{T} = \operatorname{const}\). Обозначим эту константу буквой z₃. Тогда

\(~\dfrac{p}{T} = z_3\) или \(~p = z_3 \cdot T\).

График этой функции — прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 4, в).

Рис. 4

• Все графики изопроцессов прямые линии (исключение, гипербола в осях p(V)). Эти прямые проходят или через нуль, или перпендикулярно одной из осей.
• Так как давление газа, его объем и температура не могут равняться нулю, то при приближении к нулевым значениям линии графика изображают пунктирными линиями.

Уравнение состояния идеального газа

В изопроцессах два параметра изменялись при постоянном значении третьего. Но возможны случаи, когда меняются сразу три параметра. Например, когда нагретый у поверхности Земли воздух поднимается вверх, то он расширяется, давление его уменьшается и температура понижается.

Уравнение, связывающее температуру T, давление p и объем V для данной массы идеального газа , называют уравнением состояния газа.

Это уравнение было получено экспериментально, но его можно вывести из основного уравнения MKT:

\(~p = n \cdot k \cdot T.\)

По определению концентрация газа

\(~n = \dfrac NV,\)

где N — число молекул. Тогда

\(~p = \dfrac NV \cdot k \cdot T \Rightarrow \dfrac{p \cdot V}{T} = k \cdot N . \qquad (1)\)

При неизменной массе газа число молекул в нем постоянно и произведение \(~k \cdot N = \operatorname{const}.\) Следовательно,

\(~\dfrac{p \cdot V}{T} = \operatorname{const}\) или для двух состояний \(~\dfrac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 \cdot V_2}{T_2} . \qquad (2)\)

Соотношение (2) и есть уравнение состояния идеального газа. Его называют уравнением Клапейрона. Им пользуются в тех случаях, когда масса газа и его химический состав не изменяются и нужно сравнить два состояния газа.

Идеальные газы

Каждый школьник знает, что газ является одним из четырех (включая плазму) агрегатных состояний материи, в котором частицы не имеют определенных положений и движутся хаотичным образом во всех направлениях с одинаковой вероятностью. Исходя из такого строения, газы не сохраняют ни объем, ни форму при малейшем внешнем силовом воздействии на них.

В любом газе средняя кинетическая энергия его частиц (атомов, молекул) больше, чем энергия межмолекулярного взаимодействия между ними. Кроме того, расстояния между частицами намного превышают их собственные размеры. Если молекулярными взаимодействиями и размерами частиц можно пренебречь, тогда такой газ называется идеальным.

В идеальном газе существует лишь единственный вид взаимодействия — упругие столкновения. Поскольку размер частиц пренебрежимо мал в сравнении с расстояниями между ними, то вероятность столкновений частица-частица будет низкой. Поэтому в идеальной газовой системе существуют только столкновения частиц со стенками сосуда.

Все реальные газы с хорошей точностью можно считать идеальными, если температура в них выше комнатной, и давление не сильно превышает атмосферное.

Основное уравнение МКТ

Основная задача молекулярно-кинетической теории газа заключается в том, чтобы установить соотношение между давлением газа и его микроскопическими параметрами: массой молекул, их средней скоростью и концентрацией. Это соотношение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газа или кратко — основным уравнением МКТ.

В основе молекулярно-кинетической теории лежат три положения.

1. Все вещества образованы из мельчайших частиц — молекул, которые состоят из атомов.

   Молекулы химического вещества могут быть простыми и сложными, то есть состоять из одного или нескольких атомов. Молекулы и атомы представляют собой электрически нейтральные частицы. При определенных условиях молекулы и атомы могут приобретать дополнительный электрический заряд и превращаться в положительные или отрицательные ионы.

2. Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.

3. Частицы взаимодействуют друг с другом силами, которые имеют электрическую природу. Гравитационное взаимодействие между частицами пренебрежимо мало.

Мы уже выяснили, что причина давления газа на стенки — это удары молекул. Давление напрямую зависит от количества молекул — чем их больше, тем больше ударов о стенки и тем больше давление. А количество молекул в единице объема — это концентрация. Значит, давление газа зависит от концентрации.

Также давление пропорционально квадрату скорости, так как чем больше скорость молекулы, тем чаще она бьется о стенку сосуда. Расчеты показывают, что основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа имеет следующий вид.

Основное уравнение МКТ p = nkT или p — давление газа n — концентрация T — температура газа m — масса одной молекулы v — средняя квадратичная скорость [м/с]

Коэффициент 1/3 обусловлен трехмерностью пространства: во время хаотического движения молекул все три направления равноправны.

Важный нюанс: средняя квадратичная скорость сама по себе не в квадрате! Ее формула указана выше, а в основном уравнении МКТ (да и не только в нем) она возведена в квадрат. Это значит, что формулу средней квадратичной скорости нужно подставлять не вместо v2, а вместо v — и потом уже возводить эту формулу в квадрат. Это часто провоцирует путаницу.

Мы знаем, что кинетическая энергия вычисляется по следующей формуле:

Кинетическая энергия Ек = mv2/2 Ек — кинетическая энергия m — масса тела v — скорость [м/с]

Для молекулы газа формула примет вид:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы Ек = mv2/2 Ек — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы m — масса молекулы v — скорость молекулы [м/с]

Из этой формулы можно выразить mv2 и подставить в основное уравнение МКТ. Подставим и получим, что давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

Основное уравнение МКТ p — давление газа n — концентрация E — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

Газовый закон Менделеева-Клапейрона

Мы не зря поместили обсуждение этого закона в конец статьи. Дело в том, что он объединяет все изложенные и описанные выше формулы, поэтому носит название универсального газового закона. Приведем соответствующее выражение:

Видно, что это выражение объединяет все четыре макроскопических параметра (n, P, V, T), которые фигурируют в описанных ранее газовых законах. Универсальная газовая постоянная R — это величина, которая показывает значение работы, выполняемой 1 моль идеальным газом во время его расширения при нагреве на 1 К. Она равна 8,314 Дж/(моль*К).

Нетрудно догадаться, что полагая константой ту или иную величину, можно получить все предыдущие формулы для идеального газа.

Уравнение состояния было получено в первой половине XIX века французским физиком и инженером Эмилем Клапейроном, поэтому оно часто носит только его фамилию. Однако сам Клапейрон, анализируя экспериментальные данные, сформулировал это уравнение с использованием нескольких констант. Впоследствии русский химик Дмитрий Менделеев ввел понятие универсальной газовой постоянной, выразив ее через другие известные константы:

Где k_B — это постоянная Больцмана (1,38*10-23 Дж/К).

Получить газовый закон Клапейрона можно не только в результате обобщения экспериментальных данных, но также с помощью теоретических положений молекулярно-кинетической теории. В этом случае уравнение записывают в виде:

Где N — количество частиц.

История открытия

Хотя Роберта Бойля и называли «отцом химии», именно он открыл самый известный газовый закон физики. Бойль описал, как давление газа связано с объемом. Этот и еще пара других газовых законов стали первым ключом к тому, как устроена материя на непостижимом пока атомном уровне.

В конце 1670-х годов Роберт Бойль и француз Дени Папен (справа) в лаборатории заполняют стеклянные емкости и другие части аппарата, в том числе и сферический вакуумный насос (сзади справа) — основное звено в открытии Бойля.

Паскаль изучал силы в жидкостях, Гук занимался упругими свойствами твердых тел, а Роберт Бойль вслед за Отто фон Герике занялся газами, или, как говорили тогда, «воздухом». (Не забывайте, что даже в самые древние времена считалось, что элементов природы четыре — воздух, земля, огонь и вода.)

Бойль воспитывался под влиянием Фрэнсиса Бэкона, английского философа, опубликовавшего одно из первых описаний научного метода исследований. (Другие ученые, не говоря уже об аль-Хайсаме и Галилео, уже использовали похожий метод исследований.) Бойль начал с традиционного скептицизма, который составляет в наши дни в науке саму основу, а именно отбросил принимаемые на веру положения алхимии, в основе которой лежали не факты, а религиозные предрассудки.

Воздушная пружина

Будучи родом из богатой ирландской семьи, Бойль и в науке зарекомендовал себя как джентльмен. Он построил лабораторию в своем доме в Лондоне и привлек Роберта Гука для изготовления «пневматической машины» — по сути, вакуумного насоса, подобно насосу Герике.

Первая книга Бойля, опубликованная в 1660 году, имела традиционно описательное название: «New Experiments PhysicoMechanical: Touching the Spring of the Air and their Effects» («Новые физикомеханические эксперименты: пружинящий воздух и другие эффекты») и детально описывала «пневматическую машину».

Бойль также привлек к работе лучшего лондонского мастера стекольных дел, который изготавливал ему необычные стеклянные емкости — без них не состоялась бы даже первая серия опытов Бойля. Кстати, их результаты были опубликованы в 1660 году в статье под названием «Новые физико-механические эксперименты: пружинящий воздух и другие эффекты». Эксперименты показали, что в вакууме звук распространяться не может, а пламя в отсутствие воздуха не горит. Также Бойль доказал, что без воздуха не могут жить не только животные, но и растения.

Бойль много занимался физической природой «воздуха». Например, он показал, что в вакууме перо падает столь же быстро, как и камень. Это наводило на мысль, что воздух содержит материю, хоть и невидимую глазом.

В 1662 году Бойль опубликовал то, что мы теперь знаем как «закон Бойля». Он обнаружил, что давление в сосуде с газом растет при уменьшении объема сосуда, и установил закон роста давления. Выражаясь современными словами, давление газа (P) обратно пропорционально объему (V): P 1/V. Бойль воспользовался этим эмпирическим законом, чтобы доказать свою идею о том, что воздух состоит из «корпускул» — крошечных частиц, хаотично двигающихся во всех направлениях, сталкивающихся друг с другом и со стенками сосуда и создающих таким образом давление.

Закон Бойля утверждает, что давление газа обратно пропорционально его объему. Если вы сжимаете газ до меньшего объема, то его давление возрастает, поскольку молекулы в сосуде чаще сталкиваются с его стенками.