Виды треугольников

Содержание

В треугольники Это плоские и замкнутые геометрические фигуры, состоящие из трех сторон. Треугольник определяется тремя линиями, которые пересекаются два на два, образуя три угла друг с другом. Треугольная форма, полная символизма, присутствует в бесчисленных объектах и ​​как элемент конструкции.

Происхождение треугольника потеряно в истории. Из археологических данных известно, что первобытное человечество хорошо его знало, поскольку археологические находки подтверждают, что он использовался в инструментах и ​​оружии.

Также очевидно, что древние египтяне хорошо знали геометрию и, в частности, треугольную форму. Они нашли отражение в архитектурных элементах его монументальных построек.

Формулы для вычисления площадей треугольников и трапеций можно найти на Папирусе Райнда, а также в некоторых томах и других концепциях элементарной тригонометрии.

Со своей стороны известно, что вавилоняне умели вычислять площадь треугольника и других геометрических фигур, которые они использовали в практических целях, например, для разделения земель. Они также были осведомлены о многих свойствах треугольников.

Тем не менее, именно древние греки систематизировали многие геометрические концепции, распространенные сегодня, хотя большая часть этих знаний не была исключительной, поскольку она, несомненно, была разделена с другими древними цивилизациями.

Как пользоваться валькнутом в качестве оберега

Значение валькнута в повседневном обиходе – стремление к познанию.

Его носят для погружения в тайны окружающего мира и поиска собственного жизненного смысла.

Также талисман способен развивать у носителя способности к ясновидению и логическому мышлению.

Одновременно он оптимизирует когнитивные функции (память, внимание и т. д.)

Но одновременно с вышеперечисленным такой талисман опасен тем, что призывает на носителя серьезные испытания.

Если человек, носящий этот знак, выдержит свалившиеся на него невзгоды, ему даруется доступ к потаенным знаниям.

Используется валькнут в виде всевозможных украшений: браслет валькнут, кулоны, кольца, перстни, сережки, подвески.

Также до сих пор распространена практика нанесения этого знака на тело в качестве татуировки.

Как выглядит треугольник?

В выходной день Глеб с родителями ехали в парк. Мальчик заметил, что вдоль дороги стояла непонятная табличка, увидев которую, отец поехал очень медленно.

«Что это такое?» – поинтересовался ребенок. Папа рассказал, что это дорожный знак, который предупреждает о трудностях на пути. Глебу очень понравился знак, а особенно его форма. Отец продолжил рассказ о знаках: «Форма знака о многом говорит водителю, ведь при плохой видимости автолюбитель видит только форму, а не надпись. Поэтому все предупреждающие знаки – треугольные». «А что такое треугольные?» – не унимался мальчик. Найти ответ на этот и многие другие вопросы папе помог наш сегодняшний урок.

Вначале, давайте разберемся, что же такое треугольник и из чего он состоит.

В повседневной жизни нас окружает масса предметов имеющих треугольную форму. Например:

Часы, воздушный змей, кусочек торта, пиццы, арбуза, салатники, рамки для фотографий, пузырек парфюма – этот список можно продолжать бесконечно. Но что же такое треугольник?

Приведем примеры треугольников:

Исходя из определения, каждый рисунок состоит из трех отрезков. В геометрии такие отрезки называют сторонами треугольника.

Кроме отрезков, составляющей частью фигуры являются три точки, которые принято называть вершинами.

В геометрии, вершины треугольника принято обозначать заглавными буквами латиницы: A,C,D,B.

Начертим треугольник. Вершины, обозначим буквами A,C,D.

Данная геометрическая фигура имеет три вершины A,C,D и три стороны АС, CD, DА.

А как же на письме показать, что данная фигура является треугольником?

Очень интересным является то, что записывать название, можно перечисляя вершины в любом порядке.

Например: 

Можно записать: ∆NOK, ∆OKN, ∆KNО. Каждый вариант записи обозначает один и тот же треугольник и является верным.

Само название фигуры «Треугольник» предполагает, что в состав должны входить три угла. Так ли это?

Внимательно рассмотрим рисунок:

Действительно, мы видим три угла, которые отмечены дугами: ∠RFP,∠FPR, ∠PRF(мы уже знаем, что буква, обозначающая вершину угла всегда записывается в середине) или∠F, ∠P,∠R.

Созвездие Треугольника

Точное происхождение названия этого созвездия неизвестно. Свое название оно получило на Древнем Востоке, его знали и использовали в навигации финикийские мореходы. Для них оно символизировало священный камень пирамидальной формы. Треугольник входил в число 48 классических созвездий античности. Древние греки считали, что это — перенесенная на небо дельта Нила, что указывает на египетские корни названия созвездия. Уже в Новое время на звездном небе были выделены созвездия Южного Треугольника и Наугольника.

Созвездие Треугольника. Иллюстрация из астрономического атласа «Уранография» Я. Гевелия

Виды треугольников по углам

Определение. Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все углы острые.

Определение. Прямоугольным треугольником называется треугольник с прямым углом.

Определение. Тупоугольным треугольником называется треугольник с тупым углом.

— Так, про треугольник понятно, — задумчиво сказал Бим. — Хотя — нет, не совсем понятно. Вот у этих конфет по 3 угла, но они разные.

— Конечно, — ответила Оля. — У всех этих конфет разные углы. Вот конфета, у которой все углы острые. Мы знаем, что острый угол меньше, чем прямой.

Оля достала листочек в клеточку и приложила к нему конфету.

 — Поглядите сюда. У клеточки одна сторона идет по горизонтали, а другая по вертикали. Если одну сторону конфеты приложить к горизонтали, то вторая сторона конфеты пойдет ниже вертикали клеточки, значит угол между сторонами треугольника острый. Проверим еще два угла, они оба острые. Все три угла — острые. Треугольник с тремя острыми углами называется остроугольным.

— Дай, пожалуйста, листочек в клеточку, — попросил Бим.

— С удовольствием, — ответила Оля.

Бим приложил другую конфету к листочку.

— Что-то у меня не получается. У конфеты два угла острых, а стороны третьего угла совпадают с вертикальной и горизонтальной сторонами клеточки…

— Так это уже другой вид треугольника — прямоугольный треугольник! — крикнул Коля. — Треугольник, у которого один угол прямой, называют прямоугольным.

Бом тоже попросил листочек в клеточку и приложил еще одну конфету.

— У меня совсем по-другому. В этой конфете сторона одного угла вообще в клеточку не попала, где-то вне клеточки. Что же это за угол такой?

— Такой угол называется тупым, он больше, чем прямой угол, — заметил Вася. — И треугольник, у которого есть тупой угол, называется тупоугольным треугольником.

Пример 1

Говорят, что с помощью своей первой теоремы Фалес сумел измерить высоту Великой пирамиды в Египте, одного из 7 чудес древнего мира, измерив тень, которую она отбрасывает на землю, и тень, отбрасываемую колом, вбитым в землю.

Это план процедуры, которой следуют сказки:

Фалес правильно предположил, что солнечные лучи падают параллельно. Имея это в виду, он представил большой прямоугольный треугольник справа.

Здесь D — высота пирамиды, а C — расстояние над землей, измеренное от центра до тени, отбрасываемой пирамидой на дно пустыни. Измерение C может быть трудоемким, но, безусловно, проще, чем измерять высоту пирамиды.

Слева находится небольшой треугольник с ножками A и B, где A — высота кола, вбитого вертикально в землю, а B — отбрасываемая им тень. Обе длины измеримы, как и C (C равно длине тени + половине длины пирамиды).

Итак, по подобию треугольников:

A / B = D / C

И высота Великой пирамиды оказывается: D = C. (A / B)

Значение валькнута как символа

Буквальное значение термина «валькнут» (valrknut) – «узел павших (воинов)».

Воины, убитые на поле боя, отправлялись в Вальхаллу (в скандинавской мифологии – огромный зал с потолком из позолоченных щитов и стенами из копьев.

Это сооружение находится в Асгарде – небесном городе, где обитают боги). Вальхаллой управляет верховный бог Один.

А так как валькнут наносился, в основном, при отправлении воинов «на встречу с Одином», то и знак этот стал отождествляться с этим божеством.

Символизм знака «валькнут» раскрывается в следующих тезисах:

• значение валькнута – объединение мира людей (Мидгарда), богов (Асгарда) и мертвых (Хельхейма);
• значение валькнута связано с мировым древом (ясенем) Иггдрассиль, которое охватывает собой все 9 миров, также ассоциируется с Одином, который на этом дереве пробыл повешенным 9 дней с целью постижения значения рун. Эта связь проявляется через 9 углов (в валькнуте 3 треугольника, у каждого из которых по 3 угла);
• значение символа также ассоциируется с 3 богинями судьбы – Урд («прошлое»), Верданди («настоящее») и Скульд («будущее»), поскольку в нем соединяются 3 треугольника.

Суммируя все приведенные трактовки, можно вывести такое значение «узла павших» — связь между мирами и временами.

Именно поэтому при помощи этого символа люди пытались (и пытаются) постичь скрытые знания.

Также знак используется в магических ритуалах. Для «простых» людей (не связанных с магией и тайными учениями) валькнут по своему значению символизирует единство духа, души и тела.

Применение такого талисмана позволяет гармонизировать свою жизнь. Однако подходит оберег валькнут отнюдь не ко всем жизненным ситуациям и не всем людям.

Треугольник Кеплера

В начале XVII в. знаменитый астроном Кеплер составил диаграмму соединения планет Сатурна и Юпитера. Так в астрономии называют расположение планет, при котором для земного наблюдателя эклиптические долготы равны нулю, а сами небесные тела находятся близко друг к другу или даже перекрываются. Кеплер представил это явление в виде треугольника, который вращается по зодиакальному кругу, совершая полный оборот за 2400 лет.

Великий треугольник соединения Сатурна и Юпитера

Четыре стихии: Земля, Вода, Воздух и Огонь. Миниатюра из алхимического трактата XVII в.

Рождение Сына Солнца из Философского яйца. Миниатюра из алхимического трактата XVII в.

Король Земли поклоняется философской сере. Миниатюра из алхимического трактата XVII в.

Глаз в треугольнике

Символ, графически представляющий собой вписанный в треугольник глаз, называемый «глазом провидения» или «всевидящим оком», появился в Европе в XVII в. Считается, что он восходит к солярному глазу Гора древних египтян. Этот знак получил широкое распространение в барочной архитектуре, украшая фронтоны роскошных католических костелов.

В XIX в. он появился и на православных храмах, например, на фронтоне Казанского собора в Санкт-Петербурге. Христианство рассматривало его как символ Святой Троицы. Одновременно этот символ использовался и масонами, которые трактовали его как символ абсолюта, просвещения и высшего знания. У масонов «глаз провидения» располагается над стулом мастера ложи, чтобы таким образом напоминать о всепроникающей во все тайны мудрости Творца.

Декларация прав человека и гражданина, Франция, конец XVIII в.

Герб белорусского города Браслав

История создания

1. Автор.

Автором повести временных лет является монах Нестор, который жил в конце 11-начале 12 века. Нестор служил в Киево-Печерском монастыре. Изначально имя автора было неизвестно, оно упоминается через несколько веков после создания повести. Напомним, что Нестор является первым русским летописцем.

1. Первая летописная копия.

К сожалению, подлинный экземпляр повести временных лет не дошла до наших времен. Летопись несколько раз копировалась и переписывалась. Самая древняя копия, дошедшая до нашего времени, была написана в 14 веке монахом Лаврентием. Копия была названа в честь монаха, Лаврентьевской.

1. Теории создания.

Есть несколько гипотез и предположений о создании повести временных лет.

Второй теории придерживаются многие ученые. Она гласит так: монах Киево-Печерского монастыря написал летопись лишь в 1100 году.

См. также

Шаблон:Викисловарь
Шаблон:Кол

• Барицентр
• Барицентрические координаты
• Высота треугольника
• Вписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Замечательные точки треугольника
• Инцентр
• Окружность
• Окружность девяти точек
• Ортоцентр
• Правильный треугольник
• Признаки подобия треугольников
• Прямая Симсона
• Прямая Эйлера
• Прямоугольный треугольник
• Равносторонний треугольник
• Равнобедренный треугольник
• Средняя линия треугольника
• Сферический треугольник
• Теорема косинусов
• Теорема о сумме углов треугольника
• Теорема о трезубце
• Теорема синусов
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Точка Жергона
• Точка Лемуана
• Точка Нагеля
• Точки Наполеона
• Точка Парри
• Точка Понселе
• Точки Торричелли
• Точка Ферма
• Треугольник Рёло
• Трилинейные координаты
• Формула Герона
• Центр девяти точек
• Центр тяжести
• Центр Шпикера
• Центроид
• Центроид треугольника

Эллипс Штейнера

Шаблон:Конец кол

Египетский треугольник

Египетский треугольник – прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности.

Итак, с чего же начать? Разве вот с этого: 3 + 5 = 8. а число 4 составляет половину числа 8. Стоп! Числа 3, 5, 8… Разве они не напоминают что-то очень знакомое? Ну конечно, они имеют прямое отношение к золотому сечению и входят в так называемый «золотой ряд»: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… В этом ряду каждый последующий член равен сумме двух предыдущих: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 и так далее. Выходит, что египетский треугольник имеет отношение к золотому сечению? И древние египтяне знали, с чем имели дело? Но не будем торопиться с выводами. Необходимо выяснить детали поточнее.

Выражение «золотое сечение», как считают некоторые, впервые ввел в XV веке Леонардо да Винчи. Но сам «золотой ряд» стал известен в 1202 году, когда его впервые опубликовал в своей «Книге о счете» итальянский математик Леонардо Пизанский. Прозванный Фибоначчи. Однако почти за две тысячи лет до них золотое сечение было известно Пифагору и его ученикам. Правда, называлось оно по-другому, как «деление в среднем и крайнем отношении». А вот египетский треугольник с его «золотым сечением» был известен еще в те далекие времена, когда строились пирамиды в Египте, когда процветала Атлантида.

Для доказательства теоремы о египетском треугольнике необходимо использовать отрезок прямой известной длины А-А1 (рис.). Он будет служить масштабом, единицей измерения, и позволит определить длину всех сторон треугольника. Три отрезка А-А1 равны по длине наименьшей из сторон треугольника ВС, у которой соотношение равно 3. А четыре отрезка А-А1 равны по длине второй стороне, у которой соотношение выражается числом 4. И, наконец, длина третьей стороны равна пяти отрезкам А-А1. А дальше, как говорится, дело техники. На бумаге проведем отрезок ВС, являющийся наименьшей стороной треугольника. Затем из точки В радиусом, равным отрезку с соотношением 5, проводим циркулем дугу окружности, а из точки С —дугу окружности радиусом, равным длине отрезка с соотношением 4. Если теперь точку пересечения дуг соединить линиями с точками В и С, то получим прямоугольный треугольнике соотношением сторон 3 : 4 : 5.

Что и требовалось доказать.

Описание презентации Треугольники вокруг нас Здесь вы узнайте о треугольниках по слайдам

Цель проекта. Сегодня мы расскажем о треугольниках не только в геометрии но и вокруг нас. Мы расскажем о треугольниках в химии, в быту, в архитектуре, в живописи и в искусстве, в природе, в географии и в биологии и расскажем про египетский треугольник.

Треугольник Треуг льникоо (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Со времен «Начал» Евклида покоится на «трёх китах» – трёх признаках равенства треугольников. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Там упоминается способ нахождения площади треугольника. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня – достаточно упомянуть теорему Пифагора. В XY – XYI веках появилось огромное количество исследований свойств треугольника. Эти исследования составили новый раздел в геометрии «Новая геометрия треугольника» . Лишь на рубеже XIX–XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования. Были открыты новые теоремы о свойствах треугольника и даже целая наука – тригонометрия. Фейербах, Эйлер, Морли и даже Наполеон внесли свой вклад в изучение треугольника

Треугольники в химии Химию изучают и посей день, но и в химии тоже есть треугольники, хотя они незаметны.

Треугольники в быту. Треугольники есть и в быту. Но они везде и в быту, и в химии, и так далее, но мы их и не замечаем, хотя они везде.

Треугольник в архитектуре Треугольник одна из важных частей при строительстве. Треугольник используется для: фасада таможни, фасада биржи, Исаакиевского собора. Так же используется при строительстве мостов и пирамид. Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций. Треугольники делают конструкции надежными. При постройке крупных сооружений на широких и глубоких реках в теплое время года невозможно непосредственными измерениями определить расстояние между исходными пунктами и разбить оси опор. В этом случае прибегают к параллактическому или триангуляционному способам. С этой целью создают на берегах геодезическую опорную сеть, представляющую собой в плане систему треугольников

Треугольники в искусстве и живописи Треугольник присутствует в красивых ландшафтах и дизайнах. Не стоит забывать про красивы поделки из бумаги – оригами. Там тоже присутствует треугольник. Оригами тоже относится к искусству. В сфере рисования или же живописи, тоже присутствуют треугольники. Геометрические фигуры определяют внутреннее состояние: круг — спокойствие, квадрат — напряжение. а треугольник — сильное напряжение. Значит, художник «выплёскивает» своё психоэмоциональное со стояние на картину.

Треугольники в природе

Треугольники встречаются нам каждый день но мы не обращаем на это внимание. Если присмотреться можно увидит разновидных треугольников

Треугольники в биологии Это естественное происхождение треугольников. Они образованы от изменение структуры и привыкание к естественной среде.

Египетский треугольник Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3: 4: 5. Особенностью такого, треугольника, известной со времен античности, является то, что все три стороны состоят из целых чисел, а по теореме, обратной теореме Пифагора.

Растущий клин

Клинья — очень популярная разновидность фигур технического анализа. Они часто используются для определения зоны разворота тренда.

Восходящий клин формируется уменьшением волатильности цены между двумя наклонными линиями поддержки и сопротивления. При этом угол наклона линии поддержки более крутой, чем линии сопротивления. Это указание на более быстрое формирование верхних минимумов, нежели верхних максимумов. Так создается клин, который цена неизбежно пробивает.

Поскольку восходящий клин образуется в растущем тренде, обычно он используется как разворотный сигнал.

А здесь мы измеряем разворотный эффект клина, приемом, аналогичным тому, что использовали в голове и плечах. Расстояние от основы формирования клина мы “прикладываем” к пробою, чтобы примерно оценить эффект ценового движения.

И, как видим, эффект вполне удовлетворительный. Теперь посмотрим на восходящий клин после сильного нисходящего тренда.

Очевидно, что в данном случае клин был предвестником дальнейшего сильного движения цены по нисходящему тренду. В такой ситуации он является типичным сигналом не разворота, а именно продолжения тренда.

Снова измеряем расстояние нашим старым-добрым способом. Вот так используются восходящие клины:

• в растущем тренде как разворотный сигнал;
• в нисходящем тренде как сигнал продолжения тренда.

Падающий клин

Как и растущий клин, этот вариант может быть как сигналом разворота, так и его продолжения.

В нисходящем тренде падающий клин нередко выступает как разворотный сигнал. Здесь действуют абсолютно те же правила, что и для его растущего братика.

Тренд вниз, цена обновляет нижние минимумы, но еще быстрее — нижние максимумы. Все признаки предстоящего разворота тренда.

Вуаля, отличное движение на пробой клина. Измеряем расстояние, как и положено. Все замечательно. Теперь наоборот, падающий клин в восходящем тренде. Это, как правило, сигнал на его продолжение.

Сильный тренд вверх, цена долго сомневается, но лишь чтобы этот тренд продолжить. Все в логике рыночного движения.

Небольшие хитрости

Египетский треугольник 3х4х5 актуален для маленьких домов. Но, что делать, если дом 12х15?

Для этого нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катеты равняются 12 и 15 м. Гипотенуза находится как квадратный корень из суммы 12х12 и 15х15. В итоге получаем 19,2 м. С помощью чего-либо — веревки, шпагата, бечевки, тросика, военного кабеля, отмеряем 12, 15 и 19,2 м. Делаем узлы на этих местах и ставим жимки.

Затем треугольник нужно растянуть на нужном месте и установить 3 точки опоры, в которые вбить колышки. Четвертую точку можно получить, не трогая концы катетов. Для этого точка прямого угла перекидывается по диагонали и все готово.

Например, есть участок, где требуется прямой угол – для места под кухонный гарнитур, раскладки кафеля и других моментов. Хорошо бы такие вопросы учесть при кладке, но реальность другая и не всегда попадаются ровные стены и прямые углы. Здесь пригодится египетский треугольник с соотношением 3:4:5, либо при необходимости 1,5:2:2,5.

Обязательно учитывается толщина маяков, погрешность, бугры на стенах и т.д. Треугольник рисуется с помощью рулетки и мела. Если разметка небольшая, то можно воспользоваться листом гипсокартона, так как режутся они с правильными углами.

Египетский треугольник широко использовался в строительстве целых 2,5 века. И сегодня иногда приходится применять данную методику, при отсутствии необходимых инструментов, чтобы получить прямые углы. Свойства этой фигуры уникальны, что гарантирует точность в архитектуре и строительстве, без которой не обойтись. С ним легко работать, по форме он гармоничен и красив. До сих пор пытливые умы пытаются разгадать тайну египетского треугольника.

Полезно вспомнить

Треугольник

Треугольник прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Треугольника (в геометрии)), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Треугольника (в геометрии)). Треугольник, у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним, или правильным, Треугольник с двумя равными сторонами — равнобедренным. Треугольник называется остроугольным, если все углы его острые; прямоугольным  — если один из его углов прямой; тупоугольным — если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Треугольник (в геометрии) иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Треугольник (в геометрии) равна ah/2, где а — любая из сторон Треугольника, принимаемая за его основание, a h — соответствующая высота. Стороны Треугольника подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон.

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

• Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
• Любой многоугольник можно разбить на треугольники — этот процесс называется триангуляция.
• Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

Типы треугольников

По виду углов

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон

• Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Правильный

Тупоугольный’

Прямоугольный

Разносторонний

Равнобедренный

Равносторонний

Остроугольный

Окружности треугольника

Файл:Треугольник АВС и его окружности.png

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанных (зеленые)

Окружности, проходящие через вершины треугольника

• Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, если треугольник не вырожден особым образом, т. е. две из трех его вершин не совпадают.
• Окружность Джонсона — окружность, проходящая через две вершины треугольника и через его ортоцентр. Радиусы всех трех окружностей Джонсона равны. Окружности Джонсона являются описанными окружностями треугольников Гамильтона, имеющих в качестве двух вершин две вершины данного остроугольного треугольника, а в качестве третьей вершины имеющих его ортоцентр.

Окружности, касающиеся сторон треугольника или их продолжений

• Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром

  Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна. Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля (см. ниже).

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  .

• Вневписанная окружность(см. рис. справа) — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Таких окружностей в треугольнике три. Их радикальный центр — центр вписанной окружности срединного треугольника, называемый центром Шпикера или точкой Шпикера

  Отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля.

  .

Файл:Окружности Мальфатти.png

Окружности Мальфатти

• Три окружности Мальфатти треугольника (см. рис. справа). Каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей Мальфатти

  Если провести три прямые, соединяющие центр каждой окружности Мальфатти с точкой касания между собой двух других, то они пересекутся в одной точке в точке Аджима-Мальфатти(=Ajima-Malfatti Point= http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/ajmalf.html).

  .

Файл:Полувписанные окружности.png

Полувписанные окружности

• Три полувписанные окружности или окружности Веррьера (см. рис. слева). Каждая из них касается двух сторон треугольника и описанной окружности внутренним образом

  Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную.

  .

• Лемма Веррьера. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр).

Замечание

Вообще говоря, окружностей типа окружностей Веррьера, касающихся двух сторон треугольника и его описанной окружности, существует не три, а шесть: три внутренних и три внешних. Три последние касаются продолжений двух сторон треугольника и внешним образом описанной окружности. Для них можно ввести свою точку Веррьера.

Окружности, взаимно касающиеся друг друга внутри треугольника

• Три окружности Мальфатти попарно касаются друг друга внутри треугольника. (см. выше)
• Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается вписанной окружности внутри треугольника в точке Фейербаха.

Окружности, взаимно касающиеся друг друга вне треугольника

• Три окружности Веррьера касаются описанной окружности вне треугольника.
• Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внешним образом (Теорема Фейербаха, см. рисунок).

Файл:Circ9pnt3.svg

Иллюстрация к теореме Фейербаха. Точкой Фейербаха F считается наиболее близкая к вершине A отмеченная жирно точка на окружности

Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. рисунок)

Файл:Apollonius point.svg

Другие окружности

Файл:Окружность Ламуна.png

Окружность Ламуна

Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

Файл:Окружность Конвея.png

Окружность Конвея

Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, отрезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея.

Равенство треугольников

Случаются ситуации, когда точно известно, что два треугольника равны, а что же в таком случае можно сказать про углы и стороны таких треугольников?

Нам дано: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Равны ли соответствующие стороны и углы данных фигур?

По условию треугольники равны. Значит, применяем рассмотренное правило, которое говорит о том, что все соответствующие элементы фигуры равны между собой.

Получается:

Если ∆ABC = ∆A₁B₁C_1, то равны соответствующие стороны:

АС =А₁С₁;

АВ = А₁В₁;

СВ = С₁В₁;

и соответствующие углы равны:

∠С =∠С₁;

∠А = ∠А₁;

∠В = ∠В_1.

Геометрия интересна тем, что большинство её правил нуждаются в доказательствах. Такие правила называют теоремами.

Вместе с этим, имеются и самостоятельные правила, которые называют аксиомами геометрии.

Сегодня мы рассмотрим первую теорему с названием «Первый признак равенства треугольников», и проведем работу по сбору доказательств для данной теоремы.

Два треугольника – ∆OMN и ∆KLT. Известно, что две стороны треугольников и угол между ними равны.

Значит:

OM=KL, 

MN=LT;

∠M =∠L.

Докажем, что ∆OMN=∆KLT.

Доказательство первого признака равенства треугольников:

Из условия нам известно, что соответствующие углы равны ∠M =∠L, следовательно, мы можем выполнить наложение двух треугольников так, чтобы вершина M совпадала с вершиной L.

Тогда, сторона OM наложится на сторону  KL, а сторона MN на отрезок LT. По условию нам известно, что отрезки равны OM=KL, MN=LT, значит, при наложении они совпадут. Получается, что при наложении совпадает угол, и две стороны, следовательно, будут совпадать и оставшиеся стороны ON и KT, то есть ON = KT . Если при наложении совмещаются три стороны и одна вершина, значит, совместятся и две другие вершины KO и TN.

Выходит, что при совмещении совпадают все элементы ∆, а такие ∆ называются равными.

Мы доказали, что ∆OMN=∆KLT.

Еще, нам предстоит познакомиться с несколькими понятиями, без которых продолжать изучение  геометрии невозможно.

Начертим прямую АВ. Выберем точку не лежащую на данной прямой. Проведем отрезок СК, соединяющий точку С и прямую АВ, таким образом, чтобы при пересечении СК и АВ образовывался прямой угол (90˚) . Изображенный отрезок СК называют перпендикуляром к прямой.

Доказательство будем проводить в два этапа.

1 этап

2 этап

Теорема доказана.

Виды треугольников по сторонам

Определение. Треугольник, у которого все три стороны разной длины называется разносторонним треугольником.

Определение. Треугольник, у которого две стороны равной длины, называется равнобедренным треугольником.

Определение. Треугольник с тремя равными сторонами называется равносторонним треугольником.

— А как еще различают треугольники? — задал новый вопрос Бим. — Вот у этих трех конфет все углы острые, а они все равно разные!

Бим взял конфеты и приложил по очереди одну конфету к другой:

— У каждой конфеты есть по одной одинаковой стороне. Но они разные. Как такое может быть?

— Значит другие стороны у них не будут одинаковыми, — нашлась Оля.

Оля достала еще один листочек и измерила у первой конфеты все три стороны:

— У первой конфеты все стороны разной длины. Выходит, конфета имеет вид треугольника с разными сторонами. Треугольник, у которого все стороны разной длины, называется разносторонним треугольником.

Тут у вас еще много конфет. — вмешался Коля. — Вот еще конфета с прямым углом и со сторонами разной длины.

А вот конфета с тупым углом, а стороны у нее все разные, — продолжил Вася.

Бим измерил стороны второй конфеты из трех, которые он взял.

— А у этой конфеты две стороны одинаковой длины, а у третьей стороны другая длина!

— Эта конфета имеет вид равнобедренного треугольника, — ответил Вася. — Треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину, называется равнобедренным.

— И у прямоугольного треугольника могут быть две стороны одинаковые, и он тоже будет называться равнобедренным, — дополнила Оля.

— И у тупоугольного треугольника могут быть две стороны равными, и он тоже будет называться равнобедренным, — закончил перечисление Коля.

Бом измерил стороны третьей конфеты, которую взял Бим.

— А у этой конфеты все стороны одинаковой длины.

— Такой треугольник называется равносторонним, — объяснил Коля. — У него равны все стороны и все углы.

И тут зазвенел первый звонок.

— Ребята, пожалуйста, проходите в цирк, — пригласил Бом. — Уже скоро представление. Пойдем, Бим, и мы готовиться к выходу на арену.

— Сейчас бегу! — поспешно крикнул Бим. — Только для ребят запишу вопросы. И чтобы мне не опоздать, попросим ребят записать на них ответы.