Звездная величина: что характеризует, разница абсолютной и видимой величин, формула и значения

Введение

Экваториальное кольцо — инструмент, использовавшийся Гиппархом для наблюдения равноденствий. Его тень падает на сам прибор только тогда, когда Солнце находится на экваторе (то есть в точках равноденствий). Таким образом, с помощью этого инструмента можно с довольно высокой точностью определять моменты равноденствий.

В Википедии есть статьи о других людях с именем Гиппарх.

Гиппа́рх Нике́йский (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.) (др.-греч. Ἳππαρχος) — древнегреческий астроном, географ и математик II века до н. э., часто называемый величайшим астрономом античности. Главной заслугой Гиппарха считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона.

Механика

Гиппарх написал книгу «О телах, движущихся вниз под действием их тяжести», с основными идеями которой мы знакомы в пересказе Симпликия. Гиппарх не разделял концепцию естественных и насильственных движений Аристотеля, согласно которой «тяжёлым» земным телам свойственно движение вниз, к центру мира, а «лёгким» (например, огню) — вверх, от центра. Согласно Симпликию, «Гиппарх пишет, что если бросить кусок земли прямо вверх, причиной движения вверх будет бросившая сила, пока она превосходит тяжесть брошенного тела; при этом, чем больше бросившая сила, тем быстрее предмет движется вверх. Затем, по мере уменьшения силы, движение вверх будет происходить со всё убывающей скоростью, пока, наконец, тело не начнёт двигаться вниз под действием своего собственного влечения — хотя в какой-то мере бросившая сила ещё будет в нём присутствовать; по мере того, как она иссякает, тело будет двигаться вниз всё быстрее и быстрее, достигнув своей максимальной скорости, когда эта сила окончательно исчезнет». По сути дела, здесь перед нами — первая формулировка концепции импетуса, широко распространённой среди средневековых учёных (например, у Иоанна Филопона, Жана Буридана). Симпликий продолжает: Гиппарх «приписывает ту же причину и телам, падающим с высоты. А именно в этих телах также имеется сила, которая удерживала их на высоте, и действием этой силы объясняется более медленное движение тела в начале его падения». Эта концепция Гиппарха напоминает современное понятие потенциальной энергии. К сожалению, перечисленные идеи Гиппарха не получили развития в античности.

Математик и историк науки Лучио Руссо (Russo) полагает, что Гиппарх был знаком с понятием инерции и дал качественное описание действия гравитации. Таким образом он интерпретирует некоторые пассажи в сочинении Плутарха «О лике, видимом на диске Луны». По мнению Руссо, Гиппарх в действительности был гелиоцентристом, но его соответствующие труды не дошли до Птолемея.

Звёздные величины некоторых объектов

Солнце

−26,7 (в 400 000 раз
ярче полной Луны)

Луна в полнолуние

−12,74

Вспышка «Иридиума» (максимум)

−9,5

Сверхновая 1054 года (максимум)

−6,0

Венера (максимум)

−4,67

Международная космическая станция (максимум)

−4

Земля (при наблюдении с Солнца)

−3,84

Юпитер (максимум)

−2,94

Марс (максимум)

−2,91

Меркурий (максимум)

−2,45

Сатурн (с кольцами; максимум)

−0,24

Звёзды

(обозначается m — от англ. M agnitude) — безразмерная величина, характеризующая блеск небесного тела (количество света, поступающего от него) с точки зрения земного наблюдателя. Чем ярче объект, тем меньше его видимая звездная величина.

Слово «видимая» в названии означает лишь то, что звездная величина наблюдается с Земли, и используется для того, чтобы отличать ее от абсолютной звездной величины. Это название относится не только видимого света. Величина, которая воспринимается человеческим глазом (или другим приемником с такой же спектральной чувствительностью), называется визуальной.

Звездная величина обозначается маленькой буквой m в виде верхнего индекса до числового значения. Например, 2 m означает вторую звездную величину.

Определение

Ещё во II веке до н. э. древнегреческий астроном Гиппарх разделил все звёзды на шесть величин. Самые яркие он назвал звёздами первой величины, самые тусклые – звёздами шестой величины, а остальные равномерно распределил по промежуточным величинам.

Как выяснилось позже, связь такой шкалы с реальными физическими величинами логарифмическая, поскольку изменение яркости в одинаковое число раз воспринимается глазом как изменение на одинаковую величину (закон Вебера – Фехнера). Поэтому в 1856 году Норман Погсон предложил следующую формализацию шкалы звёздных величин, ставшую общепринятой :

m
1
−
m
2
=
−
2
,
5
lg
⁡
(L
1
L
2)
{displaystyle m_{1}-m_{2}=-2{,}5,lg left({frac {L_{1}}{L_{2}}}right)}

где m
– звёздные величины объектов, L
– освещённости от объектов. Такое определение соответствует падению светового потока в 100 раз
при увеличении звёздной величины на 5 единиц
.

Данная формула даёт возможность определить только разницу звёздных величин, но не сами величины. Чтобы с её помощью построить абсолютную шкалу, необходимо задать нуль-пункт – блеск, которому соответствует нулевая звездная величина (0 m). Сначала в качестве 0 m был принят блеск Веги . Потом нуль-пункт был переопределён, но для визуальных наблюдений Вега до сих пор может служить эталоном нулевой видимой звёздной величины (по современной системе, в полосе V системы UBV её блеск равен +0,03 m , что на глаз неотличимо от нуля).

По современным измерениям, звезда нулевой видимой величины за пределами земной атмосферы создаёт освещённость в 2,54 × 10 −6 люкс
. Световой поток от такой звезды примерно равен 10 3 квантов/(см²·с·)
в зелёном свете (полоса V системы UBV) или 10 6 квантов/(см²·с)
во всём видимом диапазоне света.

Следующие свойства помогают пользоваться видимыми звёздными величинами на практике:

Увеличению светового потока в 100 раз
соответствует уменьшение видимой звёздной величины ровно на 5 единиц
.
Уменьшение звёздной величины на одну единицу означает увеличение светового потока в 100 1/5 ≈
2,512 раза
.

В наши дни понятие звёздной величины используется не только для звёзд, но и для других объектов, например, для Луны и планет . Звёздная величина самых ярких объектов отрицательна. Например, блеск Луны в полной фазе достигает −12,7 m , а блеск Солнца равен −26,7 m .

Вычисление расстояний до Луны и Солнца и их размеров

Геометрическая конструкция, используемая Гиппархом в его определении расстояний до Солнца и Луны

Первым, кто попытался измерить эти величины, был Аристарх Самосский. По его оценкам, Луна примерно в 3 раза меньше Земли по диаметру, а Солнце в 6,5 раз больше; Солнце в 19 раз дальше от нас, чем Луна. В книге, посвящённой этому вопросу, Аристарх не приводит значение расстояния до Луны, но его можно реконструировать: получается 80 радиусов Земли. По мнению С. В. Житомирского, этим занимался также Архимед, получивший расстояние до Луны около 62 радиусов Земли.

Как сообщают Птолемей и математик Папп Александрийский, Гиппарх написал две книги «О размерах и расстояниях» (περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων), посвящённые измерению расстояний до Луны и Солнца. Реконструкции попыток Гиппарха определить эти параметры предпринимали Ф. Гульч, Н. Свердлов, Г. Тумер, Д. Роулинз.

В первой книге Гиппарх использовал наблюдения солнечного затмения, которое в Геллеспонте наблюдалось в полной фазе, а в Александрии в фазе 4/5. Предполагая, что Солнце гораздо дальше от нас, чем Луна, то есть солнечный параллакс пренебрежимо мал, Гиппарх получил минимальное расстояние до Луны 71 и максимальное 83 радиусов Земли. Во второй книге Гиппарх использует метод определения расстояния до Луны, основанный на анализе лунных затмений (в принципе аналогичный использованному ранее Аристархом), и предполагает, что суточный параллакс Солнца составляет 7′ — максимальная величина, при которой он неразличим невооружённым взглядом. В результате получается, что минимальное расстояние до Луны составляет 67 1/3, максимальное 72 2/3 радиусов Земли; расстояние до Солнца, соответствующее суточному параллаксу 7′, составляет 490 радиусов Земли.

По всей видимости, Гиппарх неоднократно возвращался к этой теме. Теон Смирнский и Халкидий утверждают, что он получил объём Солнца в 1880 раз превосходящим объём Земли, и объём Луны — в 27 раз меньшим объёма Земли. Эти числа не совпадают с приводимыми Паппом Александрийским. Зная угловой радиус Луны (1/1300 полного круга по Гиппарху), отсюда можно получить и расстояние до Луны: примерно 69 радиусов Земли, довольно близкое ко второй оценке Гиппарха, согласно Паппу (а если округлить видимый радиус Луны до ближайшей минуты, то есть принять его равным 17′, то мы получим как раз 67 1/3). Наконец, по свидетельству Клеомеда, отношение объёмов Солнца и Земли по Гиппарху равно 1050.

Видимая и абсолютная звёздная величина

Широко используется понятие абсолютной звёздной величины (M). Это звёздная величина объекта, которую он имел бы, если бы был на расстоянии 10 парсек
от наблюдателя. Абсолютная величина, в отличие от видимой, позволяет сравнивать светимость разных звёзд, поскольку не зависит от расстояния до них.

Наблюдающаяся с Земли звёздная величина называется видимой (m). Это название используется, чтобы отличать её от абсолютной, и применяется даже для величин, измеренных в ультрафиолетовом, инфракрасном или каком-либо другом не воспринимаемом глазом диапазоне излучения (величина, измеренная в видимом диапазоне, называется визуальной) . Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца равна +4,8 m , а видимая составляет −26,7 m .

Календарные периоды

Гиппарх внёс существенный вклад в усовершенствование календаря. Он определил продолжительность тропического года 365+(1/4)-(1/300) дней (на 6 минут длиннее правильного значения во II в. до н. э.) Традиционно считается, что он получил это значение исходя из промежутка времени между летними солнцестояниями, наблюдавшимися в 280 г. до н. э. Аристархом и/или его школой в Александрии и самим Гиппархом в 135 г. до н. э. на Родосе, но по мнению, высказанному Тобиасом Майером в конце XVIII века и поддержанному Н. Свердловым и Д. Роулинзом, Гиппарх получил это значение исходя из продолжительности метонова цикла (19 лет, или 235 синодических месяцев), или его модификации по Каллиппу (4 метоновых цикла минус 1 день) и продолжительности синодического месяца \displaystyle{ M=29 } дней \displaystyle{ 31′ 50» 08»’ 20»» } (в шестидесятеричной системе счисления, использовавшейся вавилонскими и греческими астрономами), которое Гиппарх мог заимствовать у вавилонских астрономов (по Свердлову) или у Аристарха (по Роулинзу).

Разность между тропическим и сидерическим годами определяется прецессией; по Галену, гиппархово значение сидерического года составляет 365+(1/4)+(1/144) дней.

На основании своего определения длины тропического года, Гиппарх внёс очередное усовершенствование в лунно-солнечный календарный цикл: 1 цикл Гиппарха составляет 4 цикла Каллиппа (304 года) без одного дня, то есть 111 035 дней, или 3760 синодических месяцев.

С Гиппархом может быть связано ещё одно определение длины тропического года, 365,24579 дней, или 365+(1/4)-(5/1188) дней. Это значение встречается в вавилонских глиняных таблицах. Как показал Деннис Роулинз, оно почти наверняка получено исходя из промежутка времени между летним солнцестоянием Гиппарха (упомянутым выше) и солнцестоянием, наблюдавшимся в 432 г. до н. э. Метоном и Евктемоном в Афинах. Эта оценка могла быть получена самим Гиппархом или, скорее, кем-то из его учеников и затем попасть на Восток, где была положена в основу одной из вавилонских теорий движения Солнца по небу (вопреки традиционному мнению, предполагающему поток информации из Вавилона в Грецию; в связи с этим отметим аргументированное мнение Роулинза, что значение длины синодического месяца \displaystyle{ M=29 } дней \displaystyle{ 31′ 50» 08»’ 20»» }, также встречающееся в вавилонских таблицах, было впервые получено Аристархом Самосским).

Птолемей сообщает также, что Гиппарх установил связь между различными видами месяца:

4267 синодических месяцев =
4573 аномалистическим месяцам =
4612 сидерическим месяцам =
126007 дней + 1 час =
345 лет — 7˚30′.

Кроме того, по Гиппарху, 5458 синодических месяцев соответствуют 5923 драконическим месяцам.

Спектральная зависимость

Звездная величина зависит от спектрального диапазона, в котором осуществляется наблюдение, так как световой поток от любого объекта в различных диапазонах разный.

Болометрическая звездная величина показывает полную мощность излучения объекта, то есть суммарный поток во всех спектральных диапазонах. Измеряется болометра.

Наиболее распространенная фотометрическая система — система UBV — имеет 3 полосы (спектральные диапазоны, в которых осуществляются измерения). Соответственно, там существуют:

ультрафиолетовая звездная величина (U) — определяется в ультрафиолетовом диапазоне;

«Синяя» звездная величина (B) — определяется в синем диапазоне;

визуальная звездная величина (V) — определяется в видимом диапазоне; кривая спектральной чувствительности выбрана так, чтобы лучше соответствовать человеческому зрению. Глаз наиболее чувствителен к желто-зеленого света с длиной волны около 555 нм.

Разница (U-B или B-V) между звездными величинами одного и того же объекта в разных полосах показывает его цвет и называется показателем цвета. Чем больше показатель цвета, тем краснее объект.

Есть и другие фотометрические системы, в каждой из которых есть различные полосы и, соответственно, можно измерить различные величины. Например, в старой фотографической системе использовались следующие величины:

фотовизуальными звездная величина (m pv) — мера зчорнення изображение объекта на фотопластинке с оранжевым светофильтром;

фотографическая звездная величина (m pg) — измеряется на обычной фотопластинке, что чувствительна к синему и ультрафиолетового диапазонов спектра.

Примечания

Graßhoff G. The History of Ptolemy’s Star Catalogue. — Springer Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97181-5
Duke D. W. (2002). «Associations between the ancient star catalogs» — people.sc.fsu.edu/~dduke/assocs.pdf. Archive for the History of Exact Sciences 56 (5): 435—450.
Swerdlow N. M. Hipparchus’s determination of the length of the tropical year and the rate of precession, Arch. Hist. Exact Sci., V. 21(4), pp. 291—309, 1979/80. Online — www.springerlink.com/content/n2g4351645101471/?p=f7686b3a216b48c89999a6198ddd91f9&pi=0
Rawlins D. DIO: The International Journal of Scientific History, V. 9.1, pp. 31-38, 1999. Сайт журнала — www.dioi.org/vols.htm
Дамбис А. К., Ефремов Ю. Н. Датировка звёздного каталога Птолемея по собственным движениям, Историко-астрономические исследования, вып. XXVI, сс. 7-25. — M.: Наука, 2001.Online — hbar.phys.msu.ru/gorm/almagest/efrd.htm,
Georg Thiele, Antike Himmelsbilder: Mit Forschungen Zu Hipparchos, Aratos und Seinen Fortsetzern und Beitragen Zur Kunstgeschichte Des Sternhimmels (1898), английский перевод фрагмента о глобусе Фарнезе — www.csit.fsu.edu/~dduke/thiele.pdf
Schaefer B. Discovery of the lost star catalog of Hipparchus on the Farnese Atlas — www.phys.lsu.edu/farnese/
Duke D. The Farnese Globe — www.csit.fsu.edu/~dduke/farnese
Rawlins D. Farnese Atlas Celestial Globe: Proposed Astronomical Origins — www.dioi.org/ggg.htm
Swerdlow N. M. Op. cit., 1979/80.
Rawlins D. Op. cit., 1999.
Rawlins D. DIO: The International Journal of Scientific History, V. 1.1, pp. 49-66, 1991. Сайт журнала — www.dioi.org/vols.htm
Rawlins D. DIO: The International Journal of Scientific History, V. 11.1, pp. 5-9, 2002. Сайт журнала — www.dioi.org/vols.htm
Van der Waerden B. L. The Earliest Form of the Epicycle Theory, Journal of the History of Astronomy, Vol. 5, p.175, 1974. Online — adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-bib_query?bibcode=1974JHA…..5..175V&db_key=AST&data_type=HTML&format=&high=45e26860ef28046
Van der Waerden B. L. The Motion of Venus, Mercury and the Sun in Early Greek Astronomy, Archive for History of Exact Sciences, Volume 26, Number 2, 99 — 113, 1982. Online — www.springerlink.com/content/lkr1751l34766465/?p=667fa30a84754c05aacf78b7f18314c2&pi=17
Rawlins D. Op. cit., 1991.
Rawlins D. DIO: The International Journal of Scientific History, V. 1.3, pp. 159—162, 1991. Сайт журнала — www.dioi.org/vols.htm
Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. — М.: Янус-К, 2001.
Swerdlow N. M. Hipparchus on the distance of the sun, Centaurus, V. 14, pp.287-305, 1969.
Toomer G. J. Hipparchus on the Distances of the Sun and Moon, Arch. Hist. Exact Sci. 14, pp.126-142, 1974. Online — www.springerlink.com/content/r154048r057t68r6/?p=dbd380ee99334790acc9e55eccde5de6&pi=1
Rawlins D. DIO: The International Journal of Scientific History, V. 1.3, pp.168-172, 1991. Сайт журнала — www.dioi.org/vols.htm
Russo L. The astronomy of Hipparchus and his time: A study based on pre-ptolemaic sources, Vistas in Astronomy, V. 38, Pt 2, pp. 207—248, 1994. Сайт журнала — www.sciencedirect.com/science/journal/00836656
Toomer, 1973.

Прецессия

Наиболее важным достижением Гиппарха считается открытие предварения равноденствий, или астрономической прецессии, заключающееся в том, что точки равноденствий постепенно перемещаются среди звёзд, благодаря чему каждый год равноденствия наступают раньше, чем в предшествующие годы. По Птолемею, Гиппарх сделал это открытие, сопоставляя определённые им самим координаты Спики с измерениями александрийского астронома Тимохариса. Более подробное исследование позволило Гиппарху отвергнуть предположение, что это изменение координат вызывается собственными движениями звёзд, так как менялись только долготы звёзд (их угловые расстояния от точки весеннего равноденствия, отсчитываемые вдоль эклиптики), но не их широты (угловые расстояния от эклиптики). По Гиппарху, скорость прецессии составляет 1˚ в столетие (на самом деле, 1˚ за 72 года).

По мнению американского историка науки Ноула Свердлова, измерения звёздных координат, бывших в распоряжении Гиппарха, являются недостаточно точными, чтобы судить о скорости прецессии. Свердлов предполагает, что Гиппарх измерил скорость прецессии на основании разности между тропическим и сидерическим (звёздным) годами. В последнее время появились основания полагать, что разность между этими двумя видами года была известна ещё Аристарху Самосскому, жившему за полтора столетия до Гиппарха. Если это так, то заслуга Гиппарха заключается не столько в открытии прецессии, сколько в подробном исследовании этого феномена на основе данных о координатах звёзд.

Другие работы

Математика. При разработке теорий Луны и Солнца Гиппарх использовал античный вариант тригонометрии. Возможно, он первым составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.

География. Трактат Гиппарха «Против географии Эратосфена» в трёх книгах до нас не дошёл. Его содержание известно, главным образом, из сообщений Страбона. Гиппарх подверг труд Эратосфена детальной и отчасти несправедливой критике, порицая его преимущественно за внутренние противоречия и недостаточную строгость при определении положения географических пунктов. По мнению Гиппарха, основой для построения географической карты должны служить только точные астрономические измерения широт и долгот и триангуляция для расчёта неизвестных расстояний. Соответствовать этим строгим требованиям Гиппарх и сам был не в силах, а реальные возможности для их выполнения появились не ранее XV—XVI вв.

В области географической теории Гиппарху принадлежат три важных нововведения. Он впервые стал использовать градусную сетку, первый предложил определять широту не только по Солнцу, как это делали уже задолго до него, но и по звёздам[источник не указан 3762 дня], а для определения долготы предложил использовать наблюдения за лунными затмениями[источник не указан 3762 дня]. В практической части своей работы, так называемой «таблице климатов», Гиппарх указал широты нескольких десятков городов и местностей. В частности, он дал более точные по сравнению с данными Эратосфена оценки широт Афин, Сицилии и южной оконечности Индии. При вычислении географических широт на основе продолжительности самого долгого светового дня Гиппарх использовал уточнённое значение угла наклона эклиптики — 23°40′ (истинное значение во второй половине II в. до н. э. составляло около 23°43′.), тогда как другим античным авторам было известно только округлённое значение 24°, а Клавдий Птолемей использовал менее точное значение 23°51′. Кроме того, Гиппарх выступал против принятого в его эпоху мнения, что Атлантический и Индийский океаны, а также Каспийское море являются частями единого мирового океана, и предполагал, что ойкумена, то есть обитаемая часть суши, занимает всё пространство от экватора до северного полярного круга. Эта идея Гиппарха нашла своё отражение в «Географии» Птолемея. По сути, весь труд Птолемея представляет собой попытку реализовать идеи Гиппарха о том, какой должна быть география.

Астрология. Возможно, великий астроном не был чужд и астрологии, проникшей в эллинистический мир из Вавилона. Как пишет Плиний Старший, «этот Гиппарх, который не может не заслужить достаточной похвалы… более чем кто-либо доказал родство человека со звёздами и то, что наши души являются частью неба». Гиппарх оказался одним из первых астрономов древности, занявшихся астрологией, и иногда упоминался в древних списках знаменитых астрологов.

Видимая звездная величина

Описанная выше характеристика, которую определил Гиппарх Никейский, впоследствии стала носить название «видимая» или «визуальная». Имеется в виду, что ее можно наблюдать как при помощи человеческих глаз в видимом диапазоне, так и с использованием различных инструментов вроде телескопа, включая ультрафиолетовый и инфракрасный диапазон. Звездная величина созвездия равна 2 m . Однако мы знаем, что Вега с нулевым блеском (0 m) не самая яркая звезда на небосводе (пятая по блеску, третья для наблюдателей с территории СНГ). Поэтому более яркие звезды могут иметь отрицательную звездную величину, к примеру, (-1.5 m). Также сегодня известно, что среди небесных светил могут быть не только звезды, но и тела, отражающие свет звезд – планеты, кометы или астероиды. Звездная величина полной составляет −12,7 m .

Биография

Гиппарх родился в Никее (в настоящее время Изник, Турция). Большую часть жизни проработал на острове Родос, где он, вероятно, и скончался. Его первое и последнее астрономические наблюдения датируются, соответственно, и 127 гг. до н. э. Предполагается, что он был в контакте с астрономами Александрии и Вавилона, но неизвестно, посещал ли он эти научные центры лично. Основными источниками информации о его трудах являются «Математическое собрание» Паппа, «География» Страбона и «Альмагест» Птолемея; последний оставил следующую характеристику Гиппарха: «муж трудолюбец и поклонник истины». Из собственных сочинений Гиппарха до нас дошло только одно — «Комментарий к феноменам Евдокса и Арата» («Περὶ τῶν Ἀράτου καὶ Εὐδόξου φαινομένων») в трёх книгах. В трактате содержится критический комментарий к описаниям положений звёзд и созвездий на небе в популярной астрономической поэме Арата, основанной на наблюдениях Евдокса. Кроме того, в сочинении приводится множество численных данных о восходах и заходах многих звёзд и отдельные их координаты. Исследование этих сведений показывает их тесную связь со звёздным каталогом в «Альмагесте» Птолемея. Возможно, участвовал в создании Антикитерского механизма, построенного на Родосе во II веке до н. э.

Литература

Берри А. Краткая история астрономии. — М.-Л., ОГИЗ, 1946.
Идельсон Н. И. Этюды по истории небесной механики. — М.: Наука, 1975. — 495 с. — (Из истории мировой культуры).
Колчинский И.Г., Корсунь А.А., Родригес М.Г. Астрономы: Биографический справочник. — 2-е изд., перераб. и доп. — Киев: Наукова думка, 1986. — 512 с.
Паннекук А. История астрономии. — М.: Наука, 1966.
Рожанский И. Д. История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи. — М.: Наука, 1988.
Bianchetti S. Dall’astronomia alla cartografia: Ipparco di Nicea // ПОΙΚΙΛΜΑ. Studi in onore di Michelle R Cataudella in occasione del 60° compleanno. — La Spezia: Agorà Edizioni, 2001. — P. 145—156.
Bowen A.C., Goldstein B.R. Hipparchus’ Treatment of Early Greek Astronomy: The Case of Eudoxus and the Length of Daytime Author(s) // Proceedings of the American Philosophical Society. — 1991. — Vol. 135. No. 2. — P. 233—254.
Diller A. Geographical Latitudes in Eratosthenes, Hipparchus and Posidonius // Klio. — 1934. — Bd. 27. Heft 3. — S. 258—269.
Franklin A. Principle of inertia in the Middle Ages // American Journal of Physics. — June 1976. — Vol. 44. Issue 6. — P. 529—545 (специальный раздел посвящён механике Гиппарха).
Honigmann E. Die sieben Klimata und die πολεις επισημοι. Eine Untersuchung zur Geschichte der Geographie und Astrologie in Altertum und Mittelalter. — Heidelberg: Carl Winter’s Universitätsbuchhandlung, 1929. — 247 S.
Jones A. Hipparchus // Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics. — Nature Publishing Group, 2001.
Nadal R., Brunet J.P. Le «Commentaire» d’Hipparque. I. La sphère mobile // Archive for History of Exact Sciences. — 1984. — Vol. XXIX. — P. 201—236.
Neugebauer O. A History of Ancient Mathematical Astronomy. — Pt. 1-3. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1975.
Russo L. The forgotten revolution: how science was born in 300 BC and why it had to be reborn. — Berlin.: Springer, 2004.
Sidoli N. Hipparchus and the Ancient Metrical Methods on the Sphere // Journal for the History of Astronomy. — 2004. — Vol. 35. — P. 71-84.
Swerdlow N. M. Hipparchus on the distance of the sun // Centaurus. — 1969. — Vol. 14. — P. 287—305.
Toomer G. J. The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry // Centaurus. — 1973. — Vol. 18. — P. 6-28.
Toomer G. J. The Size of the Lunar Epicycle According to Hipparchus // Centaurus. — 1967. — Vol. 12. — P. 145—150.
Toomer G. J. Hipparchus’ Empirical Basis for his Lunar Mean Motions // Centaurus. — 1980. — Vol. 24. — P. 97-109.
Wolff M. Hipparchus and the Stoic Theory of Motion // In: J. Barnes & M. Mignucci (Hgg.), Matter and Metaphysics. — Napoli: Bibliopolis, 1989. — P. 346—419.