Как поль дирак изменил физику

Электромагнитное взаимодействие[править | править код]

Пока, мы рассмотрели электрон, который на который не действует никаких внешних полей. Переходя по аналогии с гамильтониан заряженной частицы в классической электродинамике, мы можем изменить гамильтониан Дирака, чтобы включить эффект электромагнитного поля. Переписанный гамильтониан — (в единицах SI):
H=αmc2+∑j=13αjpj−eAj(x,t)c+eφ(x,t)H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left c + e \varphi(\mathbf{x}, t)

где e — электрический заряд электрона (здесь принято соглашение, что знак e отрацателен), а A и φ — электромагнитные векторный и скалярный потенциалы, соответственно.

Полагая φ = 0 и работая в нерелятивистском пределе, Дирак, нашёл для двух верхних компонент в положительной области энергий волновые функции (которые, как обсуждено ранее, являются доминирующими компонентами в нерелятивистском пределе):
(12m∑j|pj−eAj(x,t)|2−ℏe2mc∑jσjBj(x))ψ1ψ2 \left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j — e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 — \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix} =(E−mc2)ψ1ψ2= (E — mc^2) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}

где B = ∇\nabla× A — магнитное поле действующее на частицу. Это уравнение Паули для нерелятивистских частиц с полуцелым спином, с магнитным моментом ℏe2mc\hbar e/2mc (то есть, g-фактор равняется 2). Фактический магнитный момент электрона больше чем это значение, хотя только примерно на 0.12 %. Несоответствие происходит из-за квантовых колебаний в электромагнитного поля, которыми пренебрегли. См. вершинная функция.

В течение нескольких лет после открытия уравнения Дирака, большинство физиков полагало, что оно также описывает протон и нейтрон, которые являются фермионами с полуцелым спином. Однако, начинаясь с экспериментов Стерна и фриша в , найденные магнитные моменты этих частиц не совпадают значительно с предсказанными из уравнения Дирака значениями. Протон имеет магнитный момент, в 2.79 раза больший чем предсказанный (с протонной массой, вставленной для m в вышеупомянутые формулы), то есть, g-фактор равен 5.58. Нейтрон, который является электрически нейтральным, имеет g-фактор−3.83 . Эти «аномальные магнитные моменты» были первым экспериментальным признаком, что протон и нейтрон не элементарные частицы. Они фактически составлены из меньших частиц, названных кварками. Случайно, кварки имеют полуцелый спин и точно описываются уравнением Дирака.

Гамильтониан взаимодействияправить | править код

Это заслуживающий внимания факт, что гамильтониан может быть записан как сумма двух слагаемых:
H=Hfree+HintH = H_{\mathrm{free}} + H_{\mathrm{int}} \,

где H_free — гамильтониан Дирака для свободного электрона и H_int — гамильтониан электромагнитного взаимодействия. Последний запишется в виде
Hint=eφ(x,t)−ec∑j=13αjAj(x,t).H_{\mathrm{int}} = e \varphi(\mathbf{x}, t) — ec \sum_{j=1}^3 \alpha_j A_j(\mathbf{x}, t).

Оно имеет математическое ожидание (среднее)
⟨H⟩=∫ψ†Hintψd3x=∫(ρφ−∑i=13jiAi)d3x\langle H \rangle = \int \, \psi^\dagger H_{\mathrm{int}} \psi \, d^3x = \int \, \left(\rho \varphi — \sum_{i=1}^3 j_i A_i \right) \, d^3x

где ρ — электрическая плотность зарядов и j — плотность электрического тока определённого раньше. Подинтегральная функция в последнем выражении — плотность энергии взаимодействия. Она релятивистски ковариантная скалярная величина, как можно увидеть если записать в терминах ток-заряд четыревектора j = (ρc,j) и потенциал четыревектора A = (φ/c,A):
⟨H⟩=∫(∑μ,ν=3ημνjμAν)d3r\langle H \rangle = \int \, \left( \sum_{\mu,\nu = 0}^3 \eta^{\mu\nu} j_\mu A_\nu \right) \; d^3r

ult η — метрика плоского пространства:
η00=1,\eta^{00} = 1, ηii=−1∀i=1,2,3,\eta^{ii} \;= -1 \quad\, \forall \, i=1,2,3, ημν=∀μ≠ν.\eta^{\mu\nu} = 0 \qquad \forall \, \mu \ne \nu.

Шредингер

Шредингер

Параллельно с матричной механикой начала создаваться другая теория атомных процессов, которая базировалась на абсолютно новой основе. В течение 1926 г. выдающийся австрийский физик-теоретик Эрвин Шредингер (1887–1961) опубликовал ряд статей, а в 1927 г. издал их отдельной книгой под названием «Статьи по волновой механике».

В этих статьях Шредингер развил идеи де Бройля и придал волновой механике стройную форму. Он написал волновое уравнение, которое позволяло вычислить для каждой точки пространства в каждый момент времени значениеволновой функции, связанной с вероятностью нахождения в этой точке микрочастицы.

Из уравнения Шредингера следовало, что обладая волновыми свойствами, связанная микрочастица, например, электрон в атоме, может иметь только дискретные значения энергии. Работа Э. Шредингера вызвала настоящую бурю в среде физиков-теоретиков. После длительных и тяжелых дискуссий Шредингер показал, что его волновая механика приводит к тем же результатам, что и теория Гейзенберга, хотя получается из других предположений и используется другой математический аппарат.

Таким образом, Э. Шредингер сформулировал новую теорию, которая получила название нерелятивистской волновой механики, предложил уравнение для волн и построил на его основе последовательный метод рассмотрения задач квантования.

Дуальность как основа

Величайший парадокс теории суперструн состоит в том, что сама она не является единой. Можно выделить пять различных согласованных суперструнных теорий, известных как тип I, тип IIA, тип IIB, SO(32) и E8 x E8.

В начале последнего десятилетия XX века одним из принципиальных вопросов теоретической физики был вопрос выбора той или иной струнной теории в качестве кандидата на роль Единой теории. И в решении этого фундаментального вопроса в последние годы был достигнут значительный прогресс. Оказалось, что все известные теории суперструн связаны между собой преобразованиями дуальности, открытыми в 1995 году. На основе анализа взаимосвязи разных теорий выдвинута гипотеза, согласно которой все теории суперструн являются специальными случаями единой фундаментальной теории, названной M-теорией. Эта теория живет в 11-мерном пространстве-времени и на больших расстояниях описывает 11-мерную супергравитацию. С открытием дуальности связана третья струнная революция. Первая струнная революция была вызвана изучением амплитуд рассеяния. Вторая струнная революция связана с открытием Грином и Шварцем суперсимметрии.

Пять существующих теорий суперструн кажутся различными с точки зрения слабосвязанной теории, но на самом деле все теории суперструн связаны между собой разнообразными струнными дуальностями. Теории называются дуальными, если они, существенно различаясь в конкретных деталях, тем не менее описывают одну и ту же физическую реальность. Дуальности между различными теориями суперструн являются свидетельством того, что все они являются различными предельными случаями некоторой одной теории, названной М-теорией.

При низких энергиях взаимодействующих частиц М-теория сводится к так называемой 11-мерной супергравитации. В этой теории есть мембрана и пятьбрана в качестве солитонов (так называют уединенные волны), но нет струн. Струны получаются при сворачивании одного из измерений 11-мерной М-теории. Причем эта теория объясняет в том числе и проблемы темной материи, обнаруженной недавно астрофизиками. Обнаружение одной универсальной квантовой теории очень ободрило физиков, и работа над построением полной квантовой М-теории сейчас идет полным ходом. Теория суперструн является наиболее многообещающим кандидатом на роль квантовой теории всех известных фундаментальных взаимодействий (гравитационного, электромагнитного, сильного и слабого). Эта теория достаточно элегантно решает проблему объединения двух фундаментальных физических теорий XX столетия — квантовой теории и общей теории относительности.

Как получить суперсимметрию

Все частицы в природе делятся на два типа — бозоны и фермионы. Таким образом, любая теория, претендующая на фундаментальность, должна включать в себя оба типа частиц. Когда рассматривают структуру мировых листов струн с учетом наличия бозонов и фермионов, автоматически получают новый тип симметрии — суперсимметрию — симметрию между бозонами и фермионами. Фермионы и бозоны оказываются связанными через эту симметрию, и у каждого из них должен быть суперпартнер из противоположного лагеря. Именно из-за симметрии между бозонами и фермионами появляется приставка «супер» в суперструнах. Согласованная квантовая теория суперструн существует лишь в десятимерии, то есть пространстве-времени с десятью измерениями. Во всех других случаях теория из-за квантовых эффектов становится несогласованной, или «аномальной». В десятимерии же эти эффекты полностью исчезают, компенсируясь симметрией между бозонами и фермионами.

Отчётливый процесс изъятия Уравнения Дирака из учебников

В 2012 году у одного из знаменитых физиков-теоретиков современности, одного из отцов Стандартной Модели частиц и Нобелевского лауреата Стивена Вайнберга, вышла из печати новая книга «Лекции по квантовой механике» (Steven Weinberg, «Lectures on Quantum Mechanics»). Поскольку Вайнберг уже давно считается одним из мудрейших патриархов науки, читаемые им в университетах курсы лекций стабильно становятся не просто известными, но и базовыми учебниками для многих ВУЗов планеты.

Поэтому совсем неудивительно, что в научных кругах аналогично была воспринята и его новая книга. Однако, именно в этих «Лекциях» Вайнберга обнаруживается весьма интересная и даже настораживающая особенность. Причём на особенность эту в явном виде указывает и сам автор работы – сразу же в предисловии. Давая в своих лекциях основы квантовой механики новому поколению учёных, прославленный Вайнберг полностью игнорирует релятивистское уравнение Дирака. Игнорирует так, как будто этого уравнения в истории физики и не было вовсе. Ибо – не требуется…

В предисловии к своей книге учёный авторитетно выдвигает и конкретные аргументы в пользу столь странного шага. Здесь, впрочем, в эти аргументы углубляться совершенно ни к чему, поскольку Вайнберг, на самом деле, стал тут далеко не первым. Более того, если присмотреться, то вещи подобные начали делать в популярных учебниках физики очень давно. Свыше полувека тому назад.

В 1965 году был впервые опубликован в виде учебника продвинутый курс лекций для аспирантов-физиков от другого знаменитого теоретика Ричарда Фейнмана (именно в тот год ставшего Нобелевским лауреатом и «отцом» Стандартной Модели, как будут называть рождавшийся в то время комплекс теорий). Учебник этот назывался «Квантовая механика и интегралы по траекториям» ( Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs. «Quantum mechanics and path integrals»), и в нём тоже совершенно не нашлось места для уравнения Дирака.

Фейнман, правда, исключил это фундаментально важное уравнение из своего курса по совершенно ясной и бесхитростной причине. Лекции были посвящены важнейшему из его теоретических детищ, интегралам по траекториям, но именно для уравнения Дирака такого интеграла подобрать не удалось

Ни самому Фейнману, ни кому-либо ещё.

А поскольку на аппарате фейнмановских диаграмм и интегралов по траекториям выстроена чуть ли не вся современная физика частиц во второй половине XX века, становится понятнее, откуда у теоретиков появилось неприязненное отношение к Уравнению Дирака. Выражаясь грубо и упрощённо, наука просто не понимает, почему два прекрасных математических инструмента оказались несовместимы.

Поэтому используется тот аппарат, который работает лучше. А другой, фактически, сливают за ненадобностью. Поначалу это делалось тихо и неприметно, а ныне, как можно видеть у Вайнберга, уже и демонстративно.

Вполне естественно предполагать, что примерно из тех же соображений для Уравнения Дирака не нашлось места и в куда более знаменитом многотомном учебнике «Фейнмановские лекции по физике», впервые вышедшем в начале 1960-х, с тех пор и поныне многократно переиздаваемом на самых разных языках планеты и ориентированном на студентов младших курсов, лишь вступающих в мир большой науки.

Но вот чего подобные прагматические соображения прояснить не способны совершенно никак, так это глубоких причин, из-за которых Уравнение Дирака оказалось несовместимо с физикой частиц высоких энергий.

Объяснение такое, конечно же, существует, но только постичь его наука сможет лишь после того, как решится очень существенно расширить горизонты для рассмотрения картины вселенной в её полном виде.

Природа волновой функции[править]

Поскольку на волновую функцию ψ действуют матрицы 4×4, она должна быть четырёхкомпонентным объектом. Мы увидим в следующем параграфе, что волновая функция состоит из двух степеней свободы, одна из которых соответствует положительным энергиям, а другая отрицательным. Каждая из них имеет ещё по две степени свободы, связанные с проекцией спина на выделенное направление , условно часто обозначаемые словами «вверх» или «вниз».

Мы можем записать волновую функцию в виде столбца:

ψ(x,t) =def ψ1(x,t)ψ2(x,t)ψ3(x,t)ψ4(x,t).{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{bmatrix}\psi _{1}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{2}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{3}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{4}(\mathbf {x} ,t)\end{bmatrix}}.}

Дуальную волновую функцию записывают в виде строки:

ψ¯ =defψ¯(x,t) =def ψ†α,{\displaystyle {\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\alpha ^{0},}

где

ψ†=ψ1∗(x,t)ψ2∗(x,t)ψ3∗(x,t)ψ4∗(x,t){\displaystyle \psi ^{\dagger }={\begin{bmatrix}\psi _{1}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{2}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{3}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{4}^{*}(\mathbf {x} ,t)\end{bmatrix}}}

символ * обозначает обычное комплексное сопряжение.

Как и для обычной однокомпонентной волновой функции можно ввести квадрат модуля волновой функции, который даёт плотность вероятности как функцию координаты x и времени t. В данном случае роль квадрата модуля играет скалярное произведение волновой функции и дуальной ей, то есть квадрат эрмитовой нормы биспинора:

ψ¯ψ=ψ¯(x,t)ψ(x,t)=∑a,b=14ψa∗(x,t)(α)abψb(x,t).{\displaystyle {\bar {\psi }}\psi ={\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\psi \,(\mathbf {x} ,t)=\sum _{a,b=1}^{4}\psi _{a}^{*}(\mathbf {x} ,t)(\alpha ^{0})_{ab}\psi _{b}(\mathbf {x} ,t).}

Сохранение вероятности задаёт условие нормировки

∫ψ¯ψd3x=1.{\displaystyle \int {\bar {\psi }}\psi \;d^{3}x=1.}

Привлекая уравнение Дирака можно получить «локальный» ток вероятности:

∂∂tψ¯ψ(x,t)=−∇⋅J.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {\psi }}\psi \,(\mathbf {x} ,t)=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}

Ток вероятности J задаётся как

Jj=cψ¯αjψ.{\displaystyle J_{j}=c{\bar {\psi }}\alpha _{j}\psi .}

Умножая J на заряд электрона e, приходим к плотности электрического тока j для электрона.

Значение компонент волновой функции зависит от координатной системы. Дирак показал как ψ преобразуется при изменении координатной системы, включая повороты в трёхмерном пространстве и преобразования между (быстро) движущимися друг относительно друга системами отсчёта. ψ при этом не преобразуется как вектор обычного пространства (или пространства-времени) при вращениях пространства или преобразованиях Лоренца (что само по себе и не удивительно, так как его компоненты изначально не связаны прямо с направлениями в обычном пространстве). Такой объект получил название четырехкомпонентного дираковского спинора (иначе называемого биспинором — последнее название связано с тем, что первоначально в качестве спиноров рассматривались только двухкомпонентные комплексные объекты, пара которых может образовать биспинор). Биспинор можно интерпретировать как вектор в особом пространстве, называемом обычно «внутренним пространством», не пересекающемся с обычным пространством. Однако, как уже было сказано выше, компоненты спинорных волновых функций преобразуются вполне определенным, хотя и отличающемся от преобразования компонент векторов обычного («внешнего») пространства образом, при преобразовании координат внешнего пространства.

Точности ради следует сказать, что можно все изменения, связанные с поворотами координат во внешнем пространстве, перенести на матрицы α (которые тогда будут выглядеть по-разному для разных внешних систем координат, но будут сохранять свои основные свойства — антикоммутации и единичности квадрата каждой), в этом случае компоненты (би-)спиноров вообще не будут меняться при поворотах внешнего пространства.

Физический смысл

Электрон, позитрон

Из уравнения Дирака следует, что электрон обладает собственным механическим моментом количества движения — спином, равным ħ/2, а также собственным магнитным моментом, равным магнетону Бора eħ/mc, которые ранее (1925) были открыты экспериментально (e и m — заряд и масса электрона, с — скорость света, ħ — постоянная Планка). С помощью уравнения Дирака была получена более точная формула для уровней энергии атома водорода (и водородоподобных атомов), включающая тонкую структуру уровней (см. Атом), а также объяснён эффект Зеемана. На основе уравнения Дирака были найдены формулы для вероятностей рассеяния фотонов свободными электронами (комптон-эффекта) и излучения электрона при его торможении (тормозного излучения), получившие экспериментальное подтверждение. Однако последовательное релятивистское описание движения электрона даётся квантовой электродинамикой.

Характерная особенность уравнения Дирака — наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы (что соответствует отрицательной массе частицы). Это представляло трудность для теории, так как все механические законы для частицы в таких состояниях были бы неверными, переходы же в эти состояния в квантовой теории возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился в дальнейшем, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из уравнения Дирака следовало, что должна существовать новая частица (античастица по отношению к электрону) с массой электрона и электрическим зарядом противоположного знака; такая частица была действительно открыта в 1932 К. Андерсоном и названа позитроном. Это явилось огромным успехом теории электрона Дирака. Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход интерпретируются как процесс образования пары электрон-позитрон и аннигиляция такой пары.

Применение для других частиц

Уравнение Дирака справедливо и для др. частиц со спином 1/2 (в единицах ħ) — фермионов, например мюонов, нейтрино, при этом хорошее соответствие опыту получается при прямом применении уравнения Дирака к простым (а не составным) частицам, как те, которые только что упомянуты. Для протона и нейтрона (составных частиц, состоящих из кварков, связанных глюонным полем, но также обладающих спином 1/2) оно при прямом применении (как к простым частицам) приводит к неправильным значениям магнитных моментов: магнитный момент «дираковского» протона «должен быть» равен ядерному магнетону eħ/2Мc (М — масса протона), а нейтрона (поскольку он не заряжен) — нулю. Опыт же даёт, что магнитный момент протона примерно в 2,8 раза больше ядерного магнетона, а магнитный момент нейтрона отрицателен и по абсолютной величине составляет около 2/3 от магнитного момента протона. Аномальные магнитные моменты этих частиц обусловлены их сильными взаимодействиями.

В действительности данное уравнение применимо для кварков, которые также являются элементарными частицами со спином 1/2. Модифицированное уравнение Дирака можно использовать для описания протонов и нейтронов, которые не являются элементарными частицами (они состоят из кварков). Другую модификацию уравнения Дирака уравнение Майорана применяют для описания нейтрино.

Уравнение Дирака и квантовая теория поля

Уравнение Дирака описывает амплитуду вероятности для одного электрона. Теория, включающая лишь уравнение Дирака (описывающее само по себе свободный электрон, не взаимодействующий ни с каким полем), не принимает в расчёт рождение и уничтожение частиц. Она хорошо предсказывает магнитный момент электрона и тонкую структуру линий в спектре атомов. Она объясняет спин электрона, поскольку два из четырёх решений уравнения соответствуют двум спиновым состояниям электрона. Два оставшихся решений с отрицательной энергией соответствуют античастице электрона (позитрону), предсказанной Дираком исходя из его теории и почти сразу же вслед за этим открытой экспериментально.

Несмотря на эти успехи, теория имеет недостаток, не принимая во внимание взаимодействие электрона с электромагнитным полем, в том числе и рождение/уничтожение частиц — один из фундаментальных процессов релятивистской теории взаимодействующих полей. Эта трудность разрешена в квантовой теории поля

В случае электрона — добавляя квантованное электромагнитное поле и взаимодействие электрона с ним, эта теория называется квантовой электродинамикой.

Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Продолжая исследования в этой области, индийский физик Шетьендранат Бозе (1894–1974) в июле 1924 г. напечатал статью «Закон Планка и гипотеза световых квантов«, в которой впервые высказал предсказание, что в статистике световых квантов два состояния системы частиц следует считать тождественными, если они отличаются только перестановкой, и показал, что этим способом легко можно вывести формулу Планка.

Развивая эти идеи Бозе, А. Эйнштейн в течение 1924–1925 гг. опубликовал ряд статей, в которых применил эти идеи к одноатомному идеальному газу и этим положил начало развитию статистики Бозе–Эйнштейна.

Вторая квантовая статистика — статистика Ферми–Дирака — возникла после того, как в начале 1925 г. выдающийся швейцарский ученый Вольфганг Паули (1900–1958) сформулировал один из важнейших принципов современной теоретической физики — принцип исключения (принцип Паули). Открытие этого принципа дало ключ к объяснению периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева.

Этот принцип способствовал выдвижению гипотезы спина, сформулированной летом 1925 г. американскими физиками-теоретиками Джорджем-Юджином Уленбеком и Самюэлем-Абрахамом Гаудсмитом.

Принцип Паули вместе с открытием спина стал фундаментом новой квантовой статистики для частиц, имеющих полуцелый спин, которую сформулировал в 1926 г. итальянский ученый Энрико Ферми (1901–1954) и выдающийся английский физик Поль-Андриен-Морис Дирак (1902–1986).

Экспериментальное подтверждении теории де Бройля

Разработанная теория не получила сразу широкое признание, а предсказанная ею дифракция электронов прошла мимо внимания экспериментаторов. Однако в 1927 г. американские физики Клинтон Джозеф Дэвисон (1881–1958) и Л. Джермерэкспериментально открыли явление дифракции электронов при отражении их от монокристалла никеля.

Луи де Броиль

Тогда же английский физик Джордж Паджет Томсон (1892–1975), сын Дж. Томсона, и независимо от него советский физик П. С. Тартаковский наблюдали также дифракцию электронов при прохождении электронного пучка сквозь тонкую металлическую фольгу. Этими опытами экспериментально подтверждалась теория де Бройля.

Литература

• Dirac, P.A.M., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition (Clarendon, 1982)
• Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)
• Bjorken, J D & Drell, S, Relativistic Quantum mechanics
• Thaller, B., The Dirac Equation, Texts and Monographs in Physics (Springer, 1992)
• Schiff, L.I., Quantum Mechanics, 3rd edition (McGraw-Hill, 1955)

Выбранные статьи

• P.A.M. Dirac «The Quantum Theory of the Electron», Proc. R. Soc. A117 610 (1928) link to the volume of the Proceedings of the Royal Society of London containing the article at page 610
• P.A.M. Dirac «A Theory of Electrons and Protons», Proc. R. Soc. A126 360 (1930) link to the volume of the Proceedings of the Royal Society of London containing the article at page 360
• C.D. Anderson, Phys. Rev. 43, 491 (1933)
• R. Frisch and O. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)