20 невероятных явлений, происходящих на нашей планете (20 фото)

Введение

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Двоичная система счисления имеет прямое отношение к математической теории чисел. Необходимость изучения данной темы связана с тем, что в нашей современной жизни трудно обойтись без компьютера, а все числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления. Данная тема вносит вклад в фундаментальное математическое школьное образование. Различные системы счисления используются тогда, когда появляется потребность в числовых расчетах, начиная с вычислений в начальной школе на бумаге и заканчивая вычислениями на суперкомпьютерах.

Применение двоичной системы счисления

Мы используем двоичную систему счисления в повседневной жизни. Такие значения как: да или нет, черное или белое, мужчина или женщина, правда или ложь можно описать двумя знаками – единица и ноль. Единица – это истина, ноль – это ложь.

На различных выключателях также присутствует двоичная система, 1 –включено, 0 – выключено. С помощью единиц и нулей можно описать любую ситуацию. В электронике также: есть сигнал – единица, нет сигнала – ноль.

В современной технике примером применения двоичного кодирования является штрих-код. Его можно увидеть в любом магазине, на любом товаре. Он нужен для автоматического занесения информации о товаре в кассовый аппарат. Штрих-код состоит из 30 черных полос переменной толщины, разделенной промежутками переменной толщины. Толщина полос может принимать 4 значения, такую же толщину могут иметь и промежутки.

В век компьютерных технологий десятичная система счисления оказалась не удобной. Для вычисления одной десятичной операции необходимо иметь 10 различных потенциалов в цепи. Поэтому пришлось перейти на двоичную систему. В компьютерах все виды информации кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц, потому что удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со 100 процентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний.

Один символ в двоичной системе называется бит (разряд). С помощью одного бита можно зашифровать две информации: ДА или НЕТ. Четыре бита – это полубайт, 8 бит – 1 байт, 16 бит – слово, 32 бита – двойное слово.

Сколько информации можно показать с помощью двух бит? Два бита – это два знака вместе в двоичной системе счисления. Простой пример:

У нас две руки – 2 бита. Сколько комбинаций рук мы можем применить:

Подняты две руки (11)

Обе руки опущены (00)

Правая рука поднята, левая опущена (01)

Левая рука поднята, правая опущена (10)

В итоге с помощью двух рук (2 битов) мы можем закодировать 4 информации. А теперь посмотрим сколько информации можно закодировать с помощью 3 битов.

Остались дома, играем, без друга (110)

Остались дома, делаем уроки, без друга (100)

Пошли в школу, играем, без друга (010)

Пошли в школу, делаем уроки, без друга (000)

Остались дома, играем, с другом (111)

Остались дома, делаем уроки, с другом (101)

Пошли в школу, играем, с другом (011)

Пошли в школу, делаем уроки, с другом (001)

Получается, что 000,001,011 и т.д. – это 3-х битная запись информации.

А сколько информации можно закодировать, используя 4 или более бит. Для этого есть простая формула:

Возможные варианты информации = 2 в степени N, где N – количество бит.

• ИСТОРИЯ КОНСТИТУЦИОННОГО РАЗВИТИЯ РОССИИ
• Виды международного коммерческого арбитража и их правовая характеристика
• Компьютерные преступления. Виды компьютерных преступлений
• Общая характеристика административного права как отрасли права
• Недобросовестная конкуренция и ее виды
• Программные и аппаратные средства информационной безопасности (Общая информация)
• Государственное регулирование входа на рынки
• Понятие адвокатуры, ее значение. Адвокатура и государство
• Основные информационные угрозы и методы защиты дома и в офисе
• Институт ответственности в международном гражданском процессе
• СЛУЖЕБНАЯ ЭТИКА
• Характеристика и классификация источников административного права

Теоретический раздел

Нашу жизнь нельзя представить без цифр. Температура воздуха, цены на продукты, номера телефонов, время и прочее. Везде мы используем цифры даже не замечая этого.

Число – это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики. Первые числа появились вместе с речью. В древние времена счет считался математической деятельностью. Одним из первых существенных открытий являются представления о самом числе и изобретение основных четырех действий: сложение, вычитание, умножение и деление. Возникновение и развитие математики проходило благодаря египтянам и вавилонянам, примерно 3000 лет до нашей эры.

Счет был необходим для занятия торговлей и даже скотоводством, чтобы следить за количеством животных. Вначале для счета использовали части тела, например, пальцы рук. Число появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т.д. Для обычных обывателей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В 19 веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.

Числовая ось бесконечна, потому что к каждому числу можно прибавить еще одну единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально. Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольким систем счисления.

Перевод между системами счисления на Python

Перевод больших чисел между системами счисления вручную неудобен и может занимать много времени. Иногда выгоднее было бы написать программу.

Перевод из 10сс в другие будем выполнять по описанному выше алгоритму. Пока исходное число больше 0, делим его на основание системы счисления. Записываем остаток от деления как новую цифру числа. Искомое число — остатки от деления, записанные в обратном порядке.

1. Основным циклом программы будет while, который работает, пока исходное число больше 0.
2. Новую цифру числа берем как остаток от деления исходного числа на основание новой системы счисления с помощью оператора %. Новые цифры будем записывать в новую строку, в которой и будет храниться искомая запись. Чтобы не переворачивать число в конце, можем сразу заносить каждую новую цифру не в конец, а в начало строки.
3. Уменьшаем само число, деля его нацело на основание с помощью оператора //.

Например, перевод числа 258936 в 5сс.

Перевод в 10сс из других систем счисления будем производить по описанной выше формуле:

a₁a₂a₃…a_i…a_k = a₁ * nk — 1 + a₂ * nk — 2 + … + a_i * nk — i + … + a_k * n.

1. Главный цикл программы — for. Он будет перебирать цифры исходного числа, а точнее, их индексы, с помощью диапазона range по длине исходного числа.
2. На каждом шаге цикла цифру ai числа будем умножать на основание системы счисления этого числа n в степени, равной разности длины числа k и порядкового номера текущей цифры i — ai*nk — i . Не забываем, что индексация строки начинается с 0, а не с 1, поэтому порядковый номер цифры — на 1 больше ее индекса.

Например, переведем число 31241221 из 5сс обратно в 10сс.

Лайфхаки по переводу между системами счисления программой:

• для перевода числа из 10сс в 2сс, 8сс и 16сс есть встроенные команды: bin, oct и hex соответственно
  • bin(123) — “0b1111011”
  • oct(123) — “0o173”
  • hex(123) — “0x7b”

Важно заметить, что первые два символа в записи числа окажутся лишними в нашем случае — они будут обозначать идентификатор системы счисления, в которую мы перевели число. Чтобы сразу от него избавиться, при переводе можно использовать срез, который будет учитывать все число без этого идентификатора:

Чтобы сразу от него избавиться, при переводе можно использовать срез, который будет учитывать все число без этого идентификатора:

• bin(123) — “1111011”
• oct(123) — “173”
• hex(123) — “7b”

• перевести число из любой системы счисления в 10сс можно с помощью команды int. Ей необходимо передать два параметра: исходное число в виде строки и основание его системы счисления:
  • int(«31241221», 5) — 258936
  • int(«7b», 16) — 123

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры – «0» и «1».

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами от 0 до 9. Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела, т.е. единицы, появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

В двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Необходимо уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д.

пример:

1365 = 1000 + 300 + 60 + 5 или

1365 = 1 * 103 + 3 * 102 + 6 * 101 + 5 * 100

Если посмотреть на эту запись внимательно мы увидим здесь цифры 1, 3, 6 и 5 — это набор цифр из которых состоит число 1365. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число, только основание здесь будет 2.

Сложение в двоичной системе счисления

При сложении чисел в двоичной системе важно помнить, что она имеет всего два символа — 0 и 1. Никаких других символов в ней быть не может! Поэтому сложение двух единиц 1 + 1 дает не 2, как в десятичной системе, а 10, так как 10 – это следующее за единицей число в двоичной системе

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

Эти правила необходимы, чтобы складывать числа в двоичной системе в столбик. В случае прибавления единицы к единице, единица идет в следующий разряд. Прибавление нуля к любому двоичному числу не изменит это число. Большие двоичные числа удобно складывать в столбик. Правила в двоичной системе аналогичны сложению правилам сложения в столбик в десятичной системе.

Вычитание в двоичной системе счисления

Вычитать двоичные числа несколько сложнее, чем складывать, для этой цели есть два метода: вычитание с использованием дополнительного кода числа и вычитание в столбик.

Метод вычитания с использованием дополнительного кода приводит поставленную задачу к операции сложения путем преобразований над вычитаемым числом. Это преобразование называется дополнительным кодом (ДК). Определить его можно по следующему алгоритму: сначала значения всех позиций вычитаемого числа меняются на противоположные: нули на единицы, а единицы на нули. Потом к получившемуся промежуточному результату прибавляется двоичная единица, т.е. число, которое увеличивает его младший разряд на 1 в степени 4.

пример: найти разность чисел: 11001 – 1101

а) меняем значения всех позиций вычитаемого числа на

противоположные:

1 1 0 1 на

0 0 1 0

б) к получившемуся промежуточному результату прибавляем

двоичную единицу:

0 0 1 0

+ 0 0 0 1

= 0 0 1 1

в) складываем уменьшаемое число и число, полученное из 2-го

действия:

1 1 0 0 1

+ 0 0 1 1

= 1 1 1 0 0

г) завершающий этап данного метода – необходимо отбросить единицу,

стоящую в старшей позиции, т.е. 1 1 1 0 0 = 1 1 0 0.

Преимущества двоичной системы счисления:

— простота математических действий;

— возможность производить автоматическую обработку информации, используя только два состояния элементов компьютера;

— применение двоичной системы счисления для обработки информации на ЭВМ позволяет упростить построение аппаратуры и облегчить проектирование машин.

Недостатки двоичной системы счисления:

— быстрый рост числа разрядов в записи, представляющее двоичное число;

— трудность чтения значения числа, требующее определенного навыка;

— затруднительны расчеты, связанные с двоичным кодированием.

Перевод из 10сс в Ncc

Принцип деления с остатком поможет переводить числа в другую сторону — из 10сс в любую другую систему счисления.

Алгоритм перевода следующий:

1. Делим исходное число на основание новой системы счисления.
2. Остаток от деления — новая найденная цифра числа.
3. Целую часть от деления снова делим на основание. Записываем остаток как новую цифру искомой записи, а целую часть от деления — как цель следующего деления. Снова делим целую часть на основание.
4. Деление происходит до тех пор, пока целая часть от деления не станет равна 0.
5. Полученные в качестве остатков от деления цифры нового числа читаются в обратном порядке.

Для примера давайте переведем число 2589 в 7сс:

1. На первом шаге делим исходное число на 7, записывая остаток от деления как новую цифру и целую часть как оставшееся значение.

1. На втором шаге делаем то же самое, но с целой частью предыдущего деления — теперь делим ее на 7.

1. И так до тех пор, пока целая часть от деления не будет равна 0.

Интересующее нас значение находится в самом правом столбце и читается снизу вверх.

2589₁₀ = 10356₇

Перевод в системы счисления с основанием, больше 10, происходит так же. Просто надо не забывать, что цифры больше 9, будут обозначаться соответствующими буквами.

Например, таблица перевода десятичного числа 48406 в 16сс будет выглядеть следующим образом:

И искомое значение будет BD16.

Лайфхак

Между 2сс и системами счисления, в основании которых стоит степень двойки (4сс, 8сс, 16сс), есть связь, которую можно использовать для быстрого перевода из 2сс в них и обратно. Для этого используется следующая таблица:

Алгоритм перевода состоит в следующем:

1. Вычисляется степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить основание необходимой системы счисления.
2. Используется количество столбцов таблицы, равное этой степени. Отсчет ведем с правого столбца.
3. При переводе из 2сс весь код разбивается на кодовые слова длиной, равной степени — при необходимости в начало записи добавляются нули. Отдельные кодовые слова подставляются в нижнюю строку таблицы. Цифра записи числа в новой системе счисления будет равна сумме цифр верхней строки, под которыми стоит 1 кодового слова.
4. При переводе в 2сс каждая цифра представляется как сумма цифр верхней строки таблицы. Цифрам, которые используются в сумме, соответствуют 1 кодового слова 2сс, а не использующимся — 0.

На примере:

Для перевода между 2сс и 4сс используется часть таблицы:

Перевод из 2сс в 4сс:110001 = 11.00.01 = (2 + 1).(0 + 0).(0 + 1) = 3.0.1 = 301

Перевод из 4сс в 2сс:103 = 1.0.3 = (0 + 1).(0 + 0).(2 + 1) = 01.00.11 = 10011

Для перевода между 2сс и 8сс используется часть таблицы:

Перевод из 2сс в 8сс:10101011100 = 010.101.011.100 = (0 + 2 + 0).(4 + 0 + 1).(0 + 2 + 1).(4 + 0 + 0) = 2.5.3.4 = 2534

Перевод из 8сс в 2сс:1753 = 1.7.5.3 = (0 + 0 + 1).(4 + 2 + 1).(4 + 0 + 1).(0 + 2 + 1) = 001.111.101.011 = 1111101011

Для перевода между 2сс и 16сс используется вся таблица:

Перевод из 2сс в 16сс:101101111000001 = 0101.1011.1100.0001 = (0 + 4 + 0 + 1).(8 + 0 + 2 + 1).(8 + 4 + 0 + 0).(0 + 0 + 0 + 1) = 5.11.12.1 = 5BC1

Перевод из 16сс в 2сс:F87A = 15.8.7.10 = (8 + 4 + 2 + 1).(8 + 0 + 0 + 0).(0 + 4 + 2 + 1).(8 + 0 + 2 + 0) = 1111.1000.0111.1010 = 1111100001111010

4. Системы счисления разных народов

4.1. Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 10², 10³, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.

4.3. Алфавитные системы счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.

4.3.1. Еврейская система счисления

Еврейская система счисления в качестве цифр используются 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400. Ноль отсутствует. Наиболее часто можно встретить цифры, записанные таким образом в нумерации лет по иудейскому календарю.

4.3.2. Греческая система счисления

4.4. Римская система счисления

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V — 5,
X — 10,
L — 50,
C — 100,
D — 500,
M — 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

4.5. Система счисления майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы, так и не числовых записей в двоичной системе кодирования. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись.

Понятие системы счисления и их виды

Система счисления – это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу. Количество знаков, которые обычно именуют «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например, 23 456 или 1 000 123 456 789. Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».

Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, при этом позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом. Значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «11» две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» — «111», «1111», «11 111» и далее. Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи.

Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упомянутую ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.